Просмотр исходного текста страницы СМО с отказами и взаимопомощью

[[файл:СМО62.JPG|thumb|300|[[Математическая модель]] СМО с отказами и взаимопомощью]]
'''[[СМО с отказами]] и [[СМО с взаимопомощью|взаимопомощью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой всегда есть взаимопомощь между каналами обслуживания: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается всеми каналами, если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается частью каналов, в остальных случаях заявка покидает систему (теряется).
== Описание модели ==
На вход '''n'''-канальной СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. 

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала '''μ'''. 

Интенсивность потока обслуживания с взаимопомощью между каналами всегда равна '''nμ'''. 

Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается всеми '''n'''-каналами одновременно, при этом производительность увеличивается в '''n'''-раз. 

После окончания обслуживания все каналы освобождаются одновременно. 

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе одну заявку, то она принимается на обслуживание: часть каналов обслуживает первую заявку, часть приступает к обслуживанию второй заявки. Разделение каналов совершенно произвольное. 

Если система обслуживает '''k'''-заявок ('''k=1,n-1'''), то вновь прибывшая заявка принимается на обслуживание и все '''(k+1)'''-заявок обслуживаются '''n'''-каналами, распределёнными произвольно между заявками, но так, что все каналы заняты обслуживанием. Попавшая на обслуживание заявка  обслуживается до конца (заявки терпеливые). 

Если обслуживание какой-либо заявки окончено, то освободившаяся группа каналов присоединяется к обслуживанию остальных заявок, находящихся в системе. Таким образом, при наличии в системе хотя бы одной заявки все '''n'''-каналов всё время будут заняты.  

Если система обслуживает '''n'''-заявок ('''k=n'''), то каждая из них обслуживается одним каналом, а вновь прибывшая заявка получает отказ и исключается из обслуживания. 

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
== Граф состояний ==
[[файл:СМО61.JPG]]

Рассмотрим множество состояний системы:

'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

'''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется одна заявка, она обслуживается всеми '''n'''-каналами;

'''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется две заявки, они обслуживаются '''n'''-каналами;

'''…''';

'''S<sub>k</sub>''' – в системе имеется '''k'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами;

'''…''';

'''S<sub>n-1</sub>''' – в системе имеется '''(n-1)'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами;

'''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами.
== Система дифференциальных уравнений ==
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

[[файл:СМО62.JPG]]

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞''').

Система уравнений принимает вид:

[[файл:СМО63.JPG]]

Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,n'''), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно '''p<sub>0</sub>,p<sub>1</sub>,…,p<sub>n</sub>'''.

[[файл:СМО64.JPG]]

В результате получаем решение системы:
[[файл:СМО65.JPG]]
== Основные характеристики системы ==
[[файл:СМО66.JPG]]

При '''χ≠1''' получаем

[[файл:СМО67.JPG]]

При '''χ=1''' получаем

[[файл:СМО68.JPG]]
== [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] ==
{{Список СМО}}
== Ссылки ==
*Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. 
*[[Участник:Logic-samara]] 
[[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]]