Метод множителей Лагранжа

Метод множителей Лагранжа — это метод нахождения решения x₁, x₂, …, x_n, минимизирующего или максимизирующего функцию f(x₁, x₂, …, x_n) при ограничениях g₁(x₁, x₂, …, x_n)=b₁, g₂(x₁, x₂, …, x_n)=b₂, …, g_m(x₁, x₂, …, x_n)=b_m.

Описание метода

Суть метода множителей Лагранжа состоит в построении специальной функции Лагранжа для задачи условной оптимизации, нахождении частных производных и решении системы из этих производных и ограничений.

Задачи условной оптимизации:

• задача условной минимизации;
• задача условной максимизации.

Задача условной минимизации

Задача условной максимизации

Алгоритм

Входные данные: n, m, f(x₁, x₂, …, x_n), g₁(x₁, x₂, …, x_n), b₁, g₂(x₁, x₂, …, x_n), b₂, …, g_m(x₁, x₂, …, x_n), b_m.

1.Составляем функцию Лагранжа:

2.Находим частные производные функции Лагранжа по x_j и по λ_i.

3.Решаем систему уравнений:

4.Из стационарных точек, являющихся решением системы, выбираем оптимальное решение.

Выходные данные: x₁, x₂, …, x_n.

Другие методы:

• метод золотого сечения;
• метод дихотомии для оптимизации;
• градиентный метод;
• метод множителей Лагранжа.

Ссылки

• Справочник по математике для экономистов. Под ред. проф. В.И.Ермакова. М.: Высшая школа, 1987.
• Участник:Logic-samara