Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс
Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс, — это число, характеризующее область под трактрисой при 0<x<∞ в единицах измерения площади.
Трактриса — это линия, исходящая из вершины M0 в обе стороны, описываемая точкой M, увлекаемой нерастяжимой нитью LM длиной R, при движении точки L по направляющей (оси абсцисс).
Рассмотрим области трактрисы, исходящей из точки (0,R).
Обозначения
Введём обозначения:
x1 — абсцисса (большая) первой точки;
y1 — ордината первой точки;
t1 — параметр (меньший) первой точки;
x2 — абсцисса (меньшая) второй точки;
y2 — ордината второй точки;
t2 — параметр (больший) второй точки;
R — высота трактрисы;
L — точка оси абсцисс, являющейся направляющей;
M=(x,y) — точка трактрисы;
M0=(0,R) — вершина трактрисы;
t — параметрическая переменная;
x=R[cost+lntg(t/2)] — параметрическое уравнение абсциссы трактрисы;
y= Rsint — параметрическое уравнение ординаты трактрисы;
Sтрак — площадь, ограниченная дугой трактрисы и осью абсцисс при 0≤x2≤x1<∞.
Формула
- Площадь, ограниченная дугой трактрисы M0M и осью абсцисс, равна St=R2(π-2t-sin2t)/4.
- Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс, равна половине площади круга радиуса равного высоте, Sтрак=πR2/2.
Вывод формулы:
- Для вывода используется формула "площадь плоской фигуры" в параметрической форме.
Другие фигуры:
- плоская фигура;
- круг;
- сегмент круга;
- сектор круга;
- сегмент правильного многоугольника;
- сектор правильного многоугольника;
- серп;
- сегмент параболы;
- эллипс;
- сегмент эллипса;
- сектор эллипса;
- серп эллипса;
- сегмент гиперболы;
- арка синусоиды;
- арка косинусоиды;
- фигура, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
- фигура, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
- арка циклоиды;
- сектор кардиоиды;
- фигура, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
- фигура, ограниченная трактрисой и осью абсцисс;
- сектор лемнискаты Бернулли.
