Редактирование: СМО замкнутая n-канальная с m-очередью

[[файл:СМОnmnm.png|thumb|300|Замкнутая СМО с очередью]]
'''[[СМО замкнутая без очереди|СМО замкнутая]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой есть фиксированное число источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. 
Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в "число источников"-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на  интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одним любым каналом. Если заявка приходит, в момент, когда свободен хотя бы один канал, то она немедленно поступает на обслуживание одним из свободных каналов. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она становится в очередь и ожидает освобождения канала, который её может обслужить.
== Описание модели ==
На вход '''n'''-канальной СМО с '''m'''-очередью поступает поток заявок от '''(n+m)'''-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. 

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала '''μ'''. 

Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из '''n''' каналов. 

После окончания обслуживания один канал освобождается. 

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.
 
Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди '''m'''.

Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на  поток от одного источника.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
== Граф состояний ==
<!--[[файл:СМО41.JPG]]-->
'''М/М/n/m/n+m'''  – Замкнутая СМО с очередью

[[файл:СМОnmnm.png]]

Рассмотрим множество состояний системы:

'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

'''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;

'''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется две заявки, они обслуживаются двумя каналами;

'''…''';

'''S<sub>k</sub>''' – в системе имеется '''k'''-заявок, они обслуживаются '''k'''-каналами;

'''…''';

'''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами, очереди нет;

'''S<sub>n+1</sub>''' – в системе имеется '''(n+1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а одна заявка ожидает в очереди;

'''…''';

'''S<sub>n+r</sub>''' – в системе имеется '''(n+r)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''r'''-заявок ожидают в очереди;

'''…''';

'''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок ожидают в очереди;
== Система дифференциальных уравнений ==
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

[[файл:СМО42.JPG]]

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞''').

Система уравнений принимает вид:

[[файл:СМО43.JPG]]

Суммируя в системе уравнения с первого до  '''i'''-го ('''i=1,n+m'''), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно '''p<sub>0</sub>,p<sub>1</sub>,…,p<sub>n+m</sub>'''.

[[файл:СМО44.JPG]]

[[файл:СМО45.JPG]]

В результате получаем решение системы:

[[файл:СМО46.JPG]]
== Основные характеристики системы ==
[[файл:СМО47.JPG]]
*Заметим, что при '''n=1''' СМО замкнутая становится [[Одноканальная СМО замкнутая|одноканальной]].
== [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] ==
{{Список СМО}}
== Ссылки ==
*Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, М.,1969. 
*[[Участник:Logic-samara]] 
[[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]]