Редактирование: Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью

[[файл:СМО1mm1.png|thumb|300|Одноканальная замкнутая СМО с очередью]]
'''Одноканальная замкнутая [[СМО замкнутая с очередью|СМО с очередью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой есть фиксированное число источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. 
Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в "число источников"-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на  интенсивность потока от одного источника. 
Если заявка приходит, в момент, когда канал свободен, то она немедленно поступает на обслуживание каналом. 
Если заявка приходит, в момент, когда канал занят, то она становится в очередь и ожидает освобождения канала, который её может обслужить.
== Описание модели ==
На вход одноканальной СМО с '''m'''-очередью поступает поток заявок от '''(m+1)'''-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. 

Интенсивность простейшего потока обслуживания канала '''μ'''. 

Если заявка застаёт канал свободным, то она принимается на обслуживание и обслуживается каналом. 

После окончания обслуживания один канал освобождается. 

Если заявка застаёт канал занятым, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. 

Максимальное число мест в очереди '''m'''.

Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на  поток от одного источника.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
== Граф состояний ==
<!--[[файл:СМО411.JPG]]-->
'''М/М/1/m/m+1''' – Одноканальная замкнутая СМО с очередью 

[[файл:СМО1mm1.png]]

Рассмотрим множество состояний системы:

'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, канал свободен, '''(m+1)'''-источников заявок;

'''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется '''1'''-заявка, она обслуживается '''1'''-каналом, очереди нет, '''m'''-источников заявок;

'''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется '''2'''-заявки, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, '''1'''-заявка в очереди, '''(m-1)'''-источников заявок;

'''…''';

'''S<sub>i-1</sub>''' – в системе имеется '''(i-1)'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, '''(i-2)'''-заявок в очереди, '''(m-i+2)'''-источников заявок;

'''S<sub>i</sub>''' – в системе имеется '''i'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, '''(i-1)'''-заявок в очереди, '''(m-i+1)'''-источников заявок;

'''S<sub>i+1</sub>''' – в системе имеется '''(i+1)'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, '''i'''-заявок в очереди, '''(m-i)'''-источников заявок;

'''…''';

'''S<sub>m-1</sub>''' – в системе имеется '''(m-1)'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, а '''(m-2)'''-заявок в очереди, '''2'''-источника заявок;

'''S<sub>m</sub>''' – в системе имеется '''m'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, а '''(m-1)'''-заявок в очереди, '''1'''-источник заявок;

'''S<sub>m+1</sub>''' – в системе имеется '''(m+1)'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, а '''m'''-заявок в очереди, источников заявок нет.
== Система дифференциальных уравнений ==
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

[[файл:СМО421.JPG]]

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞''').

Система уравнений принимает вид:

[[файл:СМО431.JPG]]

Суммируя в системе уравнения с первого до  '''i'''-го ('''i=1,m+1'''), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно '''p<sub>0</sub>,p<sub>1</sub>,…,p<sub>m+1</sub>'''.

[[файл:СМО441.JPG]]

[[файл:СМО451.JPG]]

В результате получаем решение системы:

[[файл:СМО461.JPG]]
== Основные характеристики системы ==
[[файл:СМО481.JPG]]
== [[Система массового обслуживания|Другие одноканальные СМО:]] ==
{{Список ОСМО}}
== Ссылки ==
*Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, М.,1969. 
[[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]]