Редактирование: Одноканальная СМО с m-очередью

[[файл:СМО1m.png|thumb|300|Одноканальная СМО с очередью]]
'''Одноканальная [[СМО с очередью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда канал занят, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить.
Максимальное число заявок в системе равно числу мест в очереди плюс 1.
== Описание модели ==
На вход одноканальной СМО с '''m'''-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. 

Интенсивность простейшего потока обслуживания канала '''μ'''. 

Если заявка застаёт канал свободным, то она принимается на обслуживание и обслуживается каналом. После окончания обслуживания канал освобождается. 

Если вновь прибывшая заявка застаёт канал занятым, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди '''m'''.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди '''m'''-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания. 

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
== Граф состояний ==
<!--[[файл:СМО211.JPG]]-->
'''М/М/1/0''' – Одноканальная СМО с очередью 

[[файл:СМО1m.png]]

Рассмотрим множество состояний системы:

'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, канал свободен;

'''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется '''1'''-заявка, она обслуживается '''1'''-каналом;

'''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется '''2'''-заявки, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, '''1'''-заявка ожидает в очереди;

'''…''';

'''S<sub>i-1</sub>''' – в системе имеется '''(i-1)'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, а '''(i-2)'''-заявок ожидают в очереди;

'''S<sub>i</sub>''' – в системе имеется '''i'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, а '''(i-1)'''-заявок ожидают в очереди;

'''S<sub>i+1</sub>''' – в системе имеется '''(i+1)'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, а '''i'''-заявок ожидают в очереди;

'''…''';

'''S<sub>m-1</sub>''' – в системе имеется '''(m-1)'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, а '''(m-2)'''-заявок ожидают в очереди.

'''S<sub>m</sub>''' – в системе имеется '''m'''-заявок, '''1'''-заявка обслуживается '''1'''-каналом, а '''(m-1)'''-заявок ожидают в очереди.

'''S<sub>m+1</sub>''' – в системе имеется '''(m+1)'''-заявок, одна обслуживается '''1'''-каналом, а '''m'''-заявок ожидают в очереди.
== Система дифференциальных уравнений ==
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

[[файл:СМО221.JPG]]

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞''').

Система уравнений принимает вид:

[[файл:СМО231.JPG]]

Суммируя в системе уравнения с первого до  '''i'''-го ('''i=1,m+1'''), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно '''p<sub>0</sub>,p<sub>1</sub>,…,p<sub>m+1</sub>'''.

[[файл:СМО241.JPG]]

В результате получаем решение системы:

[[файл:СМО261.JPG]]
== Основные характеристики системы ==
[[файл:СМО271.JPG]]

При '''ρ≠1''' получаем

[[файл:СМО281.JPG]]

При '''ρ=1''' получаем

[[файл:СМО291.JPG]]
== [[Система массового обслуживания|Другие одноканальные СМО:]] ==
{{Список ОСМО}}
== Ссылки ==
*Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. 
[[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]]