Редактирование: СМО замкнутая n-канальная с m-очередью

[[файл:СМОnmnm.png|thumb|300|Замкнутая СМО с очередью]]
'''[[СМО замкнутая без очереди|Замкнутая СМО]] [[СМО с очередью|с очередью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой есть '''n'''-каналов, '''m'''-мест в очереди, '''(n+m)'''-источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. 
Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в '''(n+m)'''-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на  интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одним любым каналом. Если заявка приходит, в момент, когда свободен хотя бы один канал, то она немедленно поступает на обслуживание одним из свободных каналов. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она становится в очередь и ожидает освобождения канала, который её может обслужить.
Максимальное число заявок в системе равно сумме числа каналов и мест в очереди.
== Описание модели ==
На вход '''n'''-канальной СМО с '''m'''-очередью поступает поток заявок от '''(n+m)'''-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. 

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала '''μ'''. 

Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из '''n''' каналов. 

После окончания обслуживания один канал освобождается. 

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.
 
Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди '''m'''.

Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на  поток от одного источника.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
== Граф состояний ==
<!--[[файл:СМО41.JPG]]-->
'''М/М/n/m/n+m''' – Замкнутая СМО с очередью

[[файл:СМОnmnm.png]]

Рассмотрим множество состояний системы:

'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны, '''(n+m)'''-источников заявок;

'''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется '''1'''-заявка, она обслуживается '''1'''-каналом, '''(n+m-1)'''-источников заявок;

'''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется '''2'''-заявки, они обслуживаются '''2'''-каналами, '''(n+m-2)'''-источников заявок;

'''…''';

'''S<sub>n-1</sub>''' – в системе имеется '''(n-1)'''-заявок, они обслуживаются '''(n-1)'''-каналами, '''(m+1)'''-источников заявок;

'''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами, очереди нет, '''m'''-источников заявок;

'''S<sub>n+1</sub>''' – в системе имеется '''(n+1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''1'''-заявка в очереди, '''(m-1)'''-источников заявок;

'''…''';

'''S<sub>n+m-2</sub>''' – в системе имеется '''(n+m-2)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''(m-2)'''-заявок в очереди, '''2'''-источника заявок;

'''S<sub>n+m-1</sub>''' – в системе имеется '''(n+m-1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''(m-1)'''-заявок в очереди, '''1'''-источник заявок;

'''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок в очереди, источников заявок нет;
== Система дифференциальных уравнений ==
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

[[файл:СМО42.JPG]]

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞''').

Система уравнений принимает вид:

[[файл:СМО43.JPG]]

Суммируя в системе уравнения с первого до  '''i'''-го ('''i=1,n+m'''), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно '''p<sub>0</sub>,p<sub>1</sub>,…,p<sub>n+m</sub>'''.

[[файл:СМО44.JPG]]

[[файл:СМО45.JPG]]

В результате получаем решение системы:

[[файл:СМО46.JPG]]
== Основные характеристики системы ==
[[файл:СМО47.JPG]]
*Заметим, что при '''n=1''' СМО замкнутая становится [[Одноканальная СМО замкнутая с очередью|одноканальной]].
== [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] ==
{{Список СМО}}
== Ссылки ==
*Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, М.,1969. 
[[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]]