Редактирование: СМО n-канальная с m-очередью

[[файл:СМОnm.png|thumb|300|СМО n-канальная с m-очередью]]
'''[[СМО n-канальная без очереди|СМО n-канальная]] [[СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью|с m-очередью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить.
Максимальное число заявок в системе равно сумме числа каналов и мест в очереди.
== Описание модели ==
На вход '''n'''-канальной СМО с '''m'''-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. 

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала '''μ'''. 

Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из '''n''' каналов. 

После окончания обслуживания один канал освобождается. 

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.
 
Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди '''m'''.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди '''m'''-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания. 

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
== Граф состояний ==
<!--[[файл:СМО21.JPG]]-->
'''М/М/n/m''' – СМО n-канальная с m-очередью.

[[файл:СМОnm.png]]

Рассмотрим множество состояний системы:

'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

'''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется '''1'''-заявка, она обслуживается '''1'''-каналом;

'''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется '''2'''-заявки, они обслуживаются '''2'''-каналами;

'''…''';

'''S<sub>n-1</sub>''' – в системе имеется '''(n-1)'''-заявок, они обслуживаются '''(n-1)'''-каналами;

'''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами, очереди нет;

'''S<sub>n+1</sub>''' – в системе имеется '''(n+1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''1'''-заявка ожидает в очереди;

'''…''';

'''S<sub>n+m-2</sub>''' – в системе имеется '''(n+m-2)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''(m-2)'''-заявок ожидают в очереди;

'''S<sub>n+m-1</sub>''' – в системе имеется '''(n+m-1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''(m-1)'''-заявок ожидают в очереди;

'''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок ожидают в очереди;
== Система дифференциальных уравнений ==
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

<!--[[файл:СМО22.JPG]]-->
[[файл:СДУnm.png]]

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞''').

Система уравнений принимает вид:

<!--[[файл:СМО23.JPG]]-->
[[файл:СЛУnm.png]]

Суммируя в системе уравнения с первого до  '''i'''-го ('''i=1,n+m'''), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно '''p<sub>0</sub>,p<sub>1</sub>,…,p<sub>n+m</sub>'''.

<!--[[файл:СМО24.JPG]] [[файл:СМО25.JPG]]-->

[[файл:СЛУnm01.png]]

В результате получаем решение системы:

<!--[[файл:СМО26.JPG]]-->

[[файл:СЛУnm02.png]]
== Основные характеристики системы ==
[[файл:СМО27.JPG]]

При '''χ≠1''' получаем

[[файл:СМО28.JPG]]

При '''χ=1''' получаем

[[файл:СМО29.JPG]]
*Заметим, что при '''n=1''' СМО n-канальная с m-очередью становится [[Одноканальная СМО с m-очередью|одноканальной]].
== [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] ==
{{Список СМО}}
== Ссылки ==
*Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. 
[[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]]