Десятичная система счисления

Десятичная система — позиционная система счисления с основанием 10.

Обозначения:

a₁₀ – натуральное число в десятичной системе счисления;

n – число цифр в числе a₁₀;

b_{j_10} – j-тая (справа-налево) десятичная цифра числа a₁₀, принимает значения цифр от 0 до 9;

b_{j_10} – десятичное число соответствующее j-той (справа-налево) десятичной цифре числа a₁₀, принимает значения от 0 до 9.

Формула числа

С помощью n позиций в десятичной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от 0 до 10ⁿ-1, то есть всего 10ⁿ различных чисел.

Таблицы сложения:

Таблица сложения в десятичной системе счисления

Таблицы умножения:

Таблица умножения в десятичной системе счисления

Примеры алгоритмов:

Перевод чисел из десятичной системы счисления

Сначала производится последовательное деление столбиком исходного числа и получаемых (от предыдущих делений) частных (больших или равных основанию) на основание новой системы счисления и записываются остатки от делений. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания. Затем выписываются цифры в новой системе счисления вместо (полученных в десятичной системе счисления) последнего частного и остатков от делений в обратном (получению) порядке. Полученное число является записью исходного числа в новой системе счисления.

Примеры:

Перевод 10→2

=> 1439₁₀=10110011111₂

Перевод 10→10

=> 1439₁₀=1439₁₀

Перевод 10→16

=> 1439₁₀=59F₁₆

Перевод чисел в десятичную систему счисления

Считается сумма произведений цифр исходной системы счисления (предварительно переведённых в десятичную систему счисления) на веса разрядов (основание системы счисления в степени номер разряда, начиная с нулевого) в исходной системе. Полученное число является записью исходного числа в десятичной системе счисления.

Примеры:

Перевод 2→10

10110011111₂=1˙2¹⁰+0˙2⁹+1˙2⁸+1˙2⁷+0˙2⁶+0˙2⁵+1˙2⁴+1˙2³+1˙2²+1˙2¹+1˙2⁰=1˙1024+0˙512+1˙256+1˙128+0˙64+0˙16+1˙8+1˙4+1˙2+1˙1=

=1024+0+256+128+0+0+8+4+2+1=1439₁₀ => 10110011111₂=1439₁₀

Перевод 10→10

1439₁₀=1˙10³+4˙10²+3˙10¹+9˙10⁰=1˙1000+4˙100+3˙10+9˙1=1000+400+30+9=1439₁₀ => 1439₁₀=1439₁₀

Перевод 16→10

59F₁₆=5˙16²+9˙16¹+F˙16⁰=5˙256+9˙16+15˙1=1280+144+15=1439₁₀ => 59F₁₆=1439₁₀

Другие системы счисления:

• двоичная (цифры:0-1);
• троичная (цифры:0-2);
• четверичная (цифры:0-3);
• пятеричная (цифры:0-4);
• шестеричная (цифры:0-5);
• семеричная (цифры:0-6);
• восьмеричная (цифры:0-7);
• девятеричная (цифры:0-8);
• десятичная (цифры:0-9);
• одиннадцатиричная (цифры:0-9,A);
• одиннадцатиричная специальная (цифры:0-9,A);
• двенадцатеричная (цифры:0-9,A-B);
• тринадцатеричная (цифры:0-9,A-C);
• четырнадцатеричная (цифры:0-9,A-D);
• пятнадцатеричная (цифры:0-9,A-E);
• шестнадцатеричная (цифры:0-9,A-F).