Площадь четырёхугольника

Четырёхугольник

Площадь четырёхугольника — это число, характеризующее четырёхугольник в единицах измерения площади.

Определение:

Плоский выпуклый четырёхугольник — это четырёхугольник, у которого все четыре точки (вершины) лежат в одной плоскости и для любых его двух точек (в том числе и вершин) все точки отрезка принадлежат четырёхугольнику.

Виды четырёхугольников:

• квадрат;
• прямоугольник;
• ромб;
• параллелограмм;
• трапеция;
• равнобедренная трапеция;
• прямоугольная трапеция;
• четырёхугольник.

Обозначения

a — первая сторона;

b — вторая сторона;

c — третья сторона;

d — четвёртая сторона;

α — угол между сторонами a и b;

β — угол между сторонами b и c;

γ — угол между сторонами c и d;

η — угол между сторонами a и d;

d₁ — диагональ, соединяющая вершины углов α и γ;

d₂ — диагональ, соединяющая вершины углов β и η;

l₁ — средняя линия, соединяющая середины сторон a и c;

l₂ — средняя линия, соединяющая середины сторон b и d;

φ — угол (острый) между диагоналями;

ψ — угол (острый) между средними линиями;

p — полупериметр четырёхугольника;

S_Δ — площадь треугольника;

S_четыр — площадь четырёхугольника.

Формулы:

Формулы в векторной и координатной форме

Введём обозначения:

— радиус-вектор первой точки;

— радиус-вектор второй точки;

— радиус-вектор третьей точки;

— радиус-вектор четвёртой точки четырёхугольника, лежащей в плоскости первых трёх точек;

— нормаль к плоскости, проходящей через три заданные точки;

где

Формула Брахмагупты

Рассмотрим четырёхугольники, вокруг которых можно описать окружность и у которых порядок следования вершин 1, 2, 3, 4. Для нахождения их площади можно использовать формулу Брахмагупты.

Введём обозначения:

a — сторона, расположенная между первой и второй точками;

b — сторона, расположенная между второй и третьей точками;

c — сторона, расположенная между третьей и четвёртой точками;

d — сторона, расположенная между первой и четвёртой точками;

p — полупериметр четырёхугольника.

где

• Когда одна из сторон четырёхугольника стремится к нулю, тогда формула Брахмагупты превращается в формулу Герона для площади треугольника.
• Когда четырёхугольник является прямоугольником и a≠b, тогда формула Брахмагупты превращается в формулу площади прямоугольника, S_{прямоуг}=ab, где c=a, d=b, p=a+b.
• Когда четырёхугольник является равнобедренной трапецией и b=d, тогда формула Брахмагупты превращается в формулу площади трапеции, S_{равн.трап}=h(a+c)/2, где h²=(p-a)(p-c), p-b=(a+c)/2.

Другие многоугольники:

• треугольник:
  • равносторонний треугольник;
  • прямоугольный треугольник;
  • равнобедренный треугольник;
• четырёхугольник:
  • квадрат;
  • прямоугольник;
  • ромб;
  • параллелограмм;
  • трапеция;
• n-угольник.

Ссылки

• Бронштейн М.Н., Семендяев К.А., Справочник по математике. М., 1956, стр.167.
• Википедия. Четырёхугольник.