Четверичная система счисления — различия между версиями

Текущая версия на 05:47, 18 февраля 2025

Четверичная система (четырёхичная система, 4-ичная система) — позиционная система счисления с основанием 4.

Содержание

1 Обозначения:
2 Формула числа
3 Таблицы сложения:
- 3.1 Таблица сложения в четверичной системе счисления
- 3.2 Таблица сложения в десятичной системе счисления
4 Таблицы умножения:
- 4.1 Таблица умножения в четверичной системе счисления
- 4.2 Таблица умножения в десятичной системе счисления
5 Таблицы перевода:
6 Примеры алгоритмов:
7 Другие системы счисления:
8 Ссылки

Обозначения:

a₄ – натуральное число в четверичной системе счисления;

a₁₀ – натуральное число в десятичной системе счисления;

n – число цифр в числе a₄;

b_{j_4} – j-тая (справа-налево) четверичная цифра числа a₄, принимает значения цифр от 0 до 3;

b_{j_10} – десятичное число соответствующее j-той (справа-налево) четверичной цифре числа a₄, принимает значения от 0 до 3.

Формула числа

С помощью n позиций в четверичной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от 0 до 4ⁿ-1, то есть всего 4ⁿ различных чисел.

Таблицы сложения:

Таблица сложения в четверичной системе счисления

Таблица сложения в десятичной системе счисления

Таблицы умножения:

Таблица умножения в четверичной системе счисления

Таблица умножения в десятичной системе счисления

Таблицы перевода:

Таблица 2-ичных пар

Таблица 2-ичных триад

Таблица 2-ичных тетрад

Таблица 4-ичных пар

Таблица 8-ричных пар и 4-ичных триад

Примеры алгоритмов:

Перевод чисел из четверичной системы счисления в двоичную

Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-чных пар) пары цифр двоичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается).

Перевод 4→2

112133₄=01 01 10 01 11 11₂=10110011111₂

Перевод чисел из четверичной системы счисления в восьмеричную

Исходное число четверичной системы счисления разбивается на триады цифр четверичной системы счисления, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем триады цифр четверичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 8-ричных пар и 4-ичных триад) пары цифр восьмеричной системы счисления.

Перевод 4→8

112133₄=11 21 33₄=26 37₈=2637₈

Перевод чисел из четверичной системы счисления в восьмеричную через двоичную

Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) пары цифр двоичной системы счисления. Полученное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть 0 или 1). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, или две цифры). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) цифры восьмеричной системы счисления.

Перевод 4→2→8

112133₄=01 01 10 01 11 11₂=10110011111₂=010 110 011 111₂=2637₈

Перевод из четверичной системы счисления в десятичную

Считается сумма произведений цифр четверичной системы счисления на веса разрядов (основание 4 в степени номер разряда, начиная с нулевого; нулевой разряд это разряд единиц, далее разряды десятков, сотен, тысяч и т.д.) в четверичной системе. Полученное число является записью исходного числа в десятичной системе счисления.

Перевод 4→10

112133₄=1˙4⁵+1˙4⁴+2˙4³+1˙4²+3˙4¹+3˙4⁰=1˙1024+1˙256+2˙64+1˙16+3˙4+3˙1=1024+256+128+16+12+3=1439₁₀ => 112133₄=1439₁₀

Перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную

Исходное число четверичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице 4-ичных пар) цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Перевод 4→16

112133₄=11 21 33₄=59F₁₆

Перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную через двоичную

Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) пары цифр двоичной системы счисления. Полученное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть 0 или 1). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три цифры). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Перевод 4→2→16

112133₄=01 01 10 01 11 11₂=10110011111₂=0101 1001 1111₂=59F₁₆

Перевод чисел из двоичной системы счисления в четверичную

Исходное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице пар) цифры четверичной системы счисления.

Перевод 2→4

10110011111₂=01 01 10 01 11 11₂=112133₄

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в четверичную

Исходное число восьмеричной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 7). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице пар и триад) триады цифр четверичной системы счисления.

Перевод 8→4

2637₈=26 37₈=112 133₄=112133₄

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в четверичную через двоичную

Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). Полученное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр двоичной системы счисления, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может 0 или 1). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары двоичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) цифры четверичной системы счисления.

Перевод 8→2→4

2637₈=010 110 011 111₂=10110011111₂=01 01 10 01 11 11₂=112133₄

Перевод из десятичной системы счисления в четверичную

Сначала производится последовательное деление столбиком исходного числа и получаемых (от предыдущих делений) частных (больших или равных основанию) на основание 4 и записываются остатки от делений. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания 4. Затем выписываются цифры в четверичной системе счисления вместо последнего частного и остатков от делений в обратном (получению) порядке. Полученное число является записью исходного числа в четверичной системе счисления.

Перевод 10→4

=> 1439₁₀=112133₄

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную

Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице пар) пары цифр четверичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается).

Перевод 16→4

59F₁₆=11 21 33₄=112133₄

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную через двоичную

Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Полученное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр двоичной системы счисления, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может 0 или 1). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары двоичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) цифры четверичной системы счисления.

Перевод 16→2→4

59F₁₆=0101 1001 1111₂=10110011111₂=01 01 10 01 11 11₂=112133₄

Другие системы счисления:

Ссылки

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Четверичная система (четырёхичная система)''' — позиционная [[система счисления]] с основанием 4.
+'''Четверичная система (четырёхичная система, 4-ичная система)''' — позиционная [[система счисления]] с основанием 4.
 == Обозначения: ==
-Введём обозначения:
 '''a<sub>4</sub>''' – натуральное число в четверичной системе счисления;
@@ Строка 25: / Строка 23: @@
 === Таблица умножения в десятичной системе счисления ===
 [[файл:ТУ10.png]]
+== Таблицы перевода: ==
+=== Таблица 2-ичных пар ===
+[[файл:ТТ204.png]]
+=== Таблица 2-ичных триад ===
+[[файл:ТТ208.png]]
+=== Таблица 2-ичных тетрад ===
+[[файл:ТТ216.png]]
+=== Таблица 4-ичных пар ===
+[[файл:ТТ416.png]]
+=== Таблица 8-ричных пар и 4-ичных триад ===
+[[файл:ТТ408.png]]
+== [[Алгоритмы перевода чисел|Примеры алгоритмов:]] ==
+=== [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в двоичную]] ===
+Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-чных пар) пары цифр двоичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается).
+==== Перевод 4→2 ====
+'''112133<sub>4</sub>=01 01 10 01 11 11<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>'''
+=== [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в восьмеричную]] ===
+Исходное число четверичной системы счисления разбивается на триады цифр четверичной системы счисления, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем триады цифр четверичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 8-ричных пар и 4-ичных триад) пары цифр восьмеричной системы счисления.
+==== Перевод 4→8 ====
+'''112133<sub>4</sub>=11 21 33<sub>4</sub>=26 37<sub>8</sub>=2637<sub>8</sub>'''
+=== [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в восьмеричную через двоичную]] ===
+Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) пары цифр двоичной системы счисления.
+Полученное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть 0 или 1). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, или две цифры). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) цифры восьмеричной системы счисления.
+==== Перевод 4→2→8 ====
+'''112133<sub>4</sub>=01 01 10 01 11 11<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>=010 110 011 111<sub>2</sub>=2637<sub>8</sub>'''
+=== [[Перевод чисел в десятичную систему счисления|Перевод из четверичной системы счисления в десятичную]] ===
+Считается сумма произведений цифр четверичной системы счисления на веса разрядов (основание 4 в степени номер разряда, начиная с нулевого; нулевой разряд это разряд единиц, далее разряды десятков, сотен, тысяч и т.д.) в четверичной системе.
+Полученное число является записью исходного числа в десятичной системе счисления.
+==== Перевод 4→10 ====
+'''112133<sub>4</sub>=1˙4<sup>5</sup>+1˙4<sup>4</sup>+2˙4<sup>3</sup>+1˙4<sup>2</sup>+3˙4<sup>1</sup>+3˙4<sup>0</sup>=1˙1024+1˙256+2˙64+1˙16+3˙4+3˙1=1024+256+128+16+12+3=1439<sub>10</sub> => 112133<sub>4</sub>=1439<sub>10</sub>'''
+=== [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную]] ===
+Исходное число четверичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице 4-ичных пар) цифры шестнадцатеричной системы счисления.
+==== Перевод 4→16 ====
+'''112133<sub>4</sub>=11 21 33<sub>4</sub>=59F<sub>16</sub>'''
+=== [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную через двоичную]] ===
+Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) пары цифр двоичной системы счисления.
+Полученное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть 0 или 1). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три цифры). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления.
+==== Перевод 4→2→16 ====
+'''112133<sub>4</sub>=01 01 10 01 11 11<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>=0101 1001 1111<sub>2</sub>=59F<sub>16</sub>'''
+=== [[Перевод чисел из двоичной системы счисления в четверичную]] ===
+Исходное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице пар) цифры четверичной системы счисления.
+==== Перевод 2→4 ====
+'''10110011111<sub>2</sub>=01 01 10 01 11 11<sub>2</sub>=112133<sub>4</sub>'''
+=== [[Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в четверичную]] ===
+Исходное число восьмеричной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 7). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице пар и триад) триады цифр четверичной системы счисления.
+==== Перевод 8→4 ====
+'''2637<sub>8</sub>=26 37<sub>8</sub>=112 133<sub>4</sub>=112133<sub>4</sub>'''
+=== [[Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в четверичную через двоичную]] ===
+Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). Полученное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр двоичной системы счисления, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может 0 или 1). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары двоичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) цифры четверичной системы счисления.
+==== Перевод 8→2→4 ====
+'''2637<sub>8</sub>=010 110 011 111<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>=01 01 10 01 11 11<sub>2</sub>=112133<sub>4</sub>'''
+=== [[Перевод чисел из десятичной системы счисления|Перевод из десятичной системы счисления в четверичную]] ===
+Сначала производится последовательное деление столбиком исходного числа и получаемых (от предыдущих делений) частных (больших или равных основанию) на основание 4 и записываются остатки от делений. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания 4.
+Затем выписываются цифры в четверичной системе счисления вместо последнего частного и остатков от делений в обратном (получению) порядке.
+Полученное число является записью исходного числа в четверичной системе счисления.
+==== Перевод 10→4 ====
+[[файл:СС104.JPG]]
+'''=>  1439<sub>10</sub>=112133<sub>4</sub>'''
+=== [[Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную]] ===
+Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице пар) пары цифр четверичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается).
+==== Перевод 16→4 ====
+'''59F<sub>16</sub>=11 21 33<sub>4</sub>=112133<sub>4</sub>'''
+=== [[Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную через двоичную]] ===
+Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Полученное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр двоичной системы счисления, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может 0 или 1). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары двоичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) цифры четверичной системы счисления.
+==== Перевод 16→2→4 ====
+'''59F<sub>16</sub>=0101 1001 1111<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>=01 01 10 01 11 11<sub>2</sub>=112133<sub>4</sub>'''
 == [[Система счисления|Другие системы счисления:]] ==
 {{Список ССчисл}}
 == Ссылки ==
-*[[Участник:Logic-samara]]
+[[Категория:Математика]][[Категория:Числа]][[Категория:Алгоритмы]]
-[[Категория:Математика]]