Двоичная система счисления — различия между версиями

Текущая версия на 05:48, 18 февраля 2025

Двоичная система (2-ичная система) — позиционная система счисления с основанием 2.

Содержание

1 Обозначения:
2 Формула числа
3 Таблицы сложения:
- 3.1 Таблица сложения в двоичной системе счисления
- 3.2 Таблица сложения в десятичной системе счисления
4 Таблицы умножения:
- 4.1 Таблица умножения в двоичной системе счисления
- 4.2 Таблица умножения в десятичной системе счисления
5 Таблицы перевода:
6 Примеры алгоритмов:
7 Другие системы счисления:
8 Ссылки

Обозначения:

a₂ – натуральное число в двоичной системе счисления;

a₁₀ – натуральное число в десятичной системе счисления;

n – число цифр в числе a₂;

b_{j_2} – j-тая (справа-налево) двоичная цифра числа a₂, принимает значения цифр от 0 до 1;

b_{j_10} – десятичное число соответствующее j-той (справа-налево) двоичной цифре числа a₂, принимает значения от 0 до 1.

Формула числа

С помощью n позиций в двоичной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от 0 до 2ⁿ-1, то есть всего 2ⁿ различных чисел.

Таблицы сложения:

Таблица сложения в двоичной системе счисления

Таблица сложения в десятичной системе счисления

Таблицы умножения:

Таблица умножения в двоичной системе счисления

Таблица умножения в десятичной системе счисления

Таблицы перевода:

Таблица 2-ичных пар

Таблица 2-ичных триад

Таблица 2-ичных тетрад

Примеры алгоритмов:

Перевод чисел из двоичной системы счисления в четверичную

Исходное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) цифры четверичной системы счисления.

Перевод 2→4

10110011111₂=01 01 10 01 11 11₂=112133₄

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную

Исходное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна или две). Затем триады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) цифры восьмеричной системы счисления.

Перевод 2→8

10110011111₂=010 110 011 111₂=2637₈

Перевод из двоичной системы счисления в десятичную

Считается сумма произведений цифр двоичной системы счисления на веса разрядов (основание 2 в степени номер разряда, начиная с нулевого; нулевой разряд это разряд единиц, далее разряды десятков, сотен, тысяч и т.д.) в двоичной системе. Полученное число является записью исходного числа в десятичной системе счисления.

Перевод 2→10

10110011111₂=1˙2¹⁰+0˙2⁹+1˙2⁸+1˙2⁷+0˙2⁶+0˙2⁵+1˙2⁴+1˙2³+1˙2²+1˙2¹+1˙2⁰=1˙1024+0˙512+1˙256+1˙128+0˙64+0˙16+1˙8+1˙4+1˙2+1˙1=

=1024+0+256+128+0+0+8+4+2+1=1439₁₀ => 10110011111₂=1439₁₀

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную

Исходное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Перевод 2→16

10110011111₂=0101 1001 1111₂=59F₁₆

Перевод чисел из четверичной системы счисления в двоичную

Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) пары цифр двоичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается).

Перевод 4→2

112133₄=01 01 10 01 11 11₂=10110011111₂

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную

Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) триады опускаются (отбрасываются).

Перевод 8→2

2637₈=010 110 011 111₂=10110011111₂

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную

Сначала производится последовательное деление столбиком исходного числа и получаемых (от предыдущих делений) частных (больших или равных основанию) на основание 2 и записываются остатки от делений. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания 2. Затем выписываются цифры в двоичной системе счисления вместо последнего частного и остатков от делений в обратном (получению) порядке. Полученное число является записью исходного числа в двоичной системе счисления.

Перевод 10→2

=> 1439₁₀=10110011111₂

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную

Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) тетрады опускаются (отбрасываются).

Перевод 16→2

59F₁₆=0101 1001 1111₂=10110011111₂

Другие системы счисления:

Ссылки

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 '''Двоичная система (2-ичная система)''' — позиционная [[система счисления]] с основанием 2.
 == Обозначения: ==
-Введём обозначения:
 '''a<sub>2</sub>''' – натуральное число в двоичной системе счисления;
@@ Строка 25: / Строка 23: @@
 === Таблица умножения в десятичной системе счисления ===
 [[файл:ТУ10.png]]
-== Таблица 2-ичных пар ==
+== Таблицы перевода: ==
+=== Таблица 2-ичных пар ===
 [[файл:ТТ204.png]]
-== Таблица 2-ичных триад ==
+=== Таблица 2-ичных триад ===
 [[файл:ТТ208.png]]
-== Таблица 2-ичных тетрад ==
+=== Таблица 2-ичных тетрад ===
 [[файл:ТТ216.png]]
-== Примеры алгоритмов: ==
+== [[Алгоритмы перевода чисел|Примеры алгоритмов:]] ==
+=== [[Перевод чисел из двоичной системы счисления в четверичную]] ===
+Исходное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) цифры четверичной системы счисления.
+==== Перевод 2→4 ====
+'''10110011111<sub>2</sub>=01 01 10 01 11 11<sub>2</sub>=112133<sub>4</sub>'''
+=== [[Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную]] ===
+Исходное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна или две). Затем триады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) цифры восьмеричной системы счисления.
+==== Перевод 2→8 ====
+'''10110011111<sub>2</sub>=010 110 011 111<sub>2</sub>=2637<sub>8</sub>'''
+=== [[Перевод чисел в десятичную систему счисления|Перевод из двоичной системы счисления в десятичную]] ===
+Считается сумма произведений цифр двоичной системы счисления на веса разрядов (основание 2 в степени номер разряда, начиная с нулевого; нулевой разряд это разряд единиц, далее разряды десятков, сотен, тысяч и т.д.) в двоичной системе.
+Полученное число является записью исходного числа в десятичной системе счисления.
+==== Перевод 2→10 ====
+'''10110011111<sub>2</sub>=1˙2<sup>10</sup>+0˙2<sup>9</sup>+1˙2<sup>8</sup>+1˙2<sup>7</sup>+0˙2<sup>6</sup>+0˙2<sup>5</sup>+1˙2<sup>4</sup>+1˙2<sup>3</sup>+1˙2<sup>2</sup>+1˙2<sup>1</sup>+1˙2<sup>0</sup>=1˙1024+0˙512+1˙256+1˙128+0˙64+0˙16+1˙8+1˙4+1˙2+1˙1='''
+'''=1024+0+256+128+0+0+8+4+2+1=1439<sub>10</sub> => 10110011111<sub>2</sub>=1439<sub>10</sub>'''
 === [[Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную]] ===
-Исходное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления.
+Исходное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления.
-==== Пример перевода 2→16 ====
+==== Перевод 2→16 ====
-[[файл:СТ216.JPG]]
+'''10110011111<sub>2</sub>=0101 1001 1111<sub>2</sub>=59F<sub>16</sub>'''
-'''10110011111<sub>2</sub>=0101 1001 1111<sub>2</sub>=59FA<sub>16</sub>'''
+=== [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в двоичную]] ===
+Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) пары цифр двоичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается).
+==== Перевод 4→2 ====
+'''112133<sub>4</sub>=01 01 10 01 11 11<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>'''
+=== [[Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную]] ===
+Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) триады опускаются (отбрасываются).
+==== Перевод 8→2 ====
+'''2637<sub>8</sub>=010 110 011 111<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>'''
+=== [[Перевод чисел из десятичной системы счисления|Перевод из десятичной системы счисления в двоичную]] ===
+Сначала производится последовательное деление столбиком исходного числа и получаемых (от предыдущих делений) частных (больших или равных основанию) на основание 2 и записываются остатки от делений. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания 2.
+Затем выписываются цифры в двоичной системе счисления вместо последнего частного и остатков от делений в обратном (получению) порядке.
+Полученное число является записью исходного числа в двоичной системе счисления.
+==== Перевод 10→2 ====
+[[файл:СС102.JPG]]
+'''=>  1439<sub>10</sub>=10110011111<sub>2</sub>'''
 === [[Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную]] ===
-Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) тетрады опускаются (отбрасываются).
+Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) тетрады опускаются (отбрасываются).
-==== Пример перевода 16→2 ====
+==== Перевод 16→2 ====
-[[файл:СТ162.JPG]]
+'''59F<sub>16</sub>=0101 1001 1111<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>'''
-'''59FA<sub>16</sub>=0101 1001 1111<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>'''
 == [[Система счисления|Другие системы счисления:]] ==
 {{Список ССчисл}}
 == Ссылки ==
-*[[Участник:Logic-samara]]
 [[Категория:Математика]][[Категория:Числа]][[Категория:Алгоритмы]]