Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс

Трактриса

Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс, — это число, характеризующее область под трактрисой при 0<x<∞ в единицах измерения площади.

Трактриса — это линия, исходящая из вершины M₀ в обе стороны, описываемая точкой M, увлекаемой нерастяжимой нитью LM длиной R, при движении точки L по направляющей (оси абсцисс).

Рассмотрим области трактрисы, исходящей из точки (0,R).

Обозначения

x₁ — абсцисса (большая) первой точки;

y₁ — ордината первой точки;

t₁ — параметр (меньший) первой точки;

x₂ — абсцисса (меньшая) второй точки;

y₂ — ордината второй точки;

t₂ — параметр (больший) второй точки;

R — высота трактрисы;

L — точка оси абсцисс, являющейся направляющей;

M=(x,y) — точка трактрисы;

M₀=(0,R) — вершина трактрисы;

t — параметрическая переменная;

x=R[cost+lntg(t/2)] — параметрическое уравнение абсциссы трактрисы;

y= Rsint — параметрическое уравнение ординаты трактрисы;

S_трак — площадь, ограниченная дугой трактрисы и осью абсцисс при 0≤x₂≤x₁<∞.

Формула

• Площадь, ограниченная дугой трактрисы M₀M и осью абсцисс, равна S_t=R²(π-2t-sin2t)/4.
• Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс, равна половине площади круга радиуса равного высоте, S_трак=πR²/2.

Вывод формулы:

• Для вывода используется формула "площадь плоской фигуры" в параметрической форме.

Другие фигуры:

• плоская фигура;
• круг;
• сегмент круга;
• сектор круга;
• сегмент правильного многоугольника;
• сектор правильного многоугольника;
• серп;
• сегмент параболы;
• эллипс;
• сегмент эллипса;
• сектор эллипса;
• серп эллипса;
• сегмент гиперболы;
• арка синусоиды;
• арка косинусоиды;
• фигура, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
• фигура, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
• арка циклоиды;
• сектор кардиоиды;
• фигура, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
• фигура, ограниченная трактрисой и осью абсцисс;
• сектор лемнискаты Бернулли.