Метод преобразований Лапласа для решения дифференциального уравнения

Метод преобразований Лапласа — это способ решения дифференциальных уравнений с помощью преобразований Лапласа.

Описание метода

Суть метода преобразований Лапласа состоит в следующем:

1) перевод с помощью преобразований Лапласа дифференциального уравнения в пространство изображений в алгебраическое уравнение;

2) решение алгебраического уравнения и разложение решения на простые выражения (для дробно-рациональных выражений - методом неопределённых коэффициентов);

3) обратный перевод с помощью обратных преобразований Лапласа решения алгебраического уравнения в решение дифференциального уравнения.

• Аналогичный метод можно использовать для решения систем дифференциальных уравнений.

Линейные дифференциальные уравнения 2-ого порядка:

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Другие дифференциальные уравнения:

• с разделяющимися переменными;
• однородное;
• линейное;
• уравнение Бернулли;
• уравнение в полных дифференциалах;
• уравнение Клеро;
• уравнение второго порядка, не содержащее y и y^’;
• уравнение второго порядка, не содержащее y;
• уравнение второго порядка, не содержащее x;
• однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
• неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
• уравнение n-ого порядка, содержащее только переменную x;
• однородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
• неоднородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
• общее дифференциальное уравнение.

Ссылки

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970, стр. 272.