Длина дуги гипоциклоиды

Длина дуги гипоциклоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги гипоциклоиды в единицах измерения длины.

Гипоциклоида — это линия, описываемая точкой окружности (производящая), когда последняя катится без скольжения внутри неподвижной окружности (направляющая).

Рассмотрим дуги гипоциклоиды при 0≤t≤π/2.

Обозначения

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

t₁ — параметр (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

t₂ — параметр (больший) второй точки дуги;

R — радиус направляющей окружности;

r — радиус производящей окружности;

t — параметрическая переменная;

x=(R-r)cost+rcos[(R-r)t/r] — параметрическое уравнение абсциссы гипоциклоиды;

y=(R-r)sint-rsin[(R-r)t/r] — параметрическое уравнение ординаты гипоциклоиды;

L_{гипоцикл} — длина дуги гипоциклоиды.

Формула

• Заметим, что астроида является гипоциклоидой.

Вывод формулы

• Для вывода используется формула "длина дуги плоской кривой" в параметрической форме.

Другие кривые:

• плоская кривая;
• окружность;
• парабола;
• эллипс;
• гипербола;
• синусоида;
• косинусоида;
• циклоида;
• кардиоида;
• астроида;
• эпициклоида;
• гипоциклоида;
• эвольвента;
• цепная линия;
• трактриса;
• лемниската Бернулли.

Ссылки

• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.805.