Двоичная система счисления

Двоичная система (2-ичная система) — позиционная система счисления с основанием 2.

Обозначения:

Введём обозначения:

a₂ – натуральное число в двоичной системе счисления;

a₁₀ – натуральное число в десятичной системе счисления;

n – число цифр в числе a₂;

b_{j_2} – j-тая (справа-налево) двоичная цифра числа a₂, принимает значения цифр от 0 до 1;

b_{j_10} – десятичное число соответствующее j-той (справа-налево) двоичной цифре числа a₂, принимает значения от 0 до 1.

Формула числа

С помощью n позиций в двоичной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от 0 до 2ⁿ-1, то есть всего 2ⁿ различных чисел.

Таблицы сложения:

Таблица сложения в двоичной системе счисления

Таблица сложения в десятичной системе счисления

Таблицы умножения:

Таблица умножения в двоичной системе счисления

Таблица умножения в десятичной системе счисления

Таблица 2-ичных пар

Таблица 2-ичных триад

Таблица 2-ичных тетрад

Примеры алгоритмов:

Перевод чисел из двоичной системы счисления в четверичную

Исходное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице пар) цифры четверичной системы счисления.

Перевод 2→4

10110011111₂=01 01 10 01 11 11₂=112133₄

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную

Исходное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна или две). Затем триады заменяются на соответствующие (по таблице триад) цифры восьмеричной системы счисления.

Перевод 2→8

10110011111₂=010 110 011 111₂=2637₈

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную

Исходное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Перевод 2→16

10110011111₂=0101 1001 1111₂=59F₁₆

Перевод чисел из четверичной системы счисления в двоичную

Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице пар) пары цифр двоичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается).

Перевод 4→2

112133₄=01 01 10 01 11 11₂=10110011111₂

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную

Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) триады опускаются (отбрасываются).

Перевод 8→2

2637₈=010 110 011 111₂=10110011111₂

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную

Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) тетрады опускаются (отбрасываются).

Перевод 16→2

59F₁₆=0101 1001 1111₂=10110011111₂

Другие системы счисления:

• двоичная (цифры:0-1);
• троичная (цифры:0-2);
• четверичная (цифры:0-3);
• пятеричная (цифры:0-4);
• шестеричная (цифры:0-5);
• семеричная (цифры:0-6);
• восьмеричная (цифры:0-7);
• девятеричная (цифры:0-8);
• десятичная (цифры:0-9);
• одиннадцатиричная (цифры:0-9,A);
• одиннадцатиричная специальная (цифры:0-9,A);
• двенадцатеричная (цифры:0-9,A-B);
• тринадцатеричная (цифры:0-9,A-C);
• четырнадцатеричная (цифры:0-9,A-D);
• пятнадцатеричная (цифры:0-9,A-E);
• шестнадцатеричная (цифры:0-9,A-F).

Ссылки

• Участник:Logic-samara