Одноканальная СМО без очереди и с ограниченным временем обслуживания

Одноканальная СМО без очереди и с ограниченным временем обслуживания

Одноканальная СМО без очереди и с ограниченным временем обслуживания — это система массового обслуживания, в которой есть один канал обслуживания, но нет очереди: если заявка приходит, в момент, когда канал свободен, то она немедленно обслуживается каналом, если заявка приходит - когда уже обслуживается заявка, то новая заявка покидает систему (теряется). При обслуживании заявка проявляет «нетерпение». Максимальное число заявок в системе равно 1.

Обозначения

n – число каналов обслуживания, n=1;

m – число мест в очереди, m=0;

λ – интенсивность простейшего потока заявок;

μ – интенсивность простейшего потока обслуживания;

η – интенсивность простейшего потока уходов заявки с обслуживания.

Описание модели

На вход одноканальной СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт канал свободным, она принимается на обслуживание и обслуживается каналом. При этом заявка проявляет «нетерпение».

Если заявка застаёт канал занятым, то она получает отказ (покидает систему не обслуженной).

После окончания обслуживания заявки или уходе заявки с обслуживания освобождается канал.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/1/0 – Одноканальная СМО без очереди и с ограниченным временем обслуживания.

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом.

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система линейных уравнений

Система уравнений принимает вид:

Решение системы линейных уравнений

Решим систему относительно p₀,p₁.

В результате получаем решение системы: Файл:СЛУ1t02.png

Другие одноканальные СМО:

1. Одноканальная СМО без очереди;
2. Одноканальная СМО без очереди и с ограниченным временем обслуживания;
3. Одноканальная СМО без очереди и со случайным результатом обслуживания;
4. Одноканальная СМО с m-очередью;
5. Одноканальная СМО с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
6. Одноканальная СМО с бесконечной очередью;
7. Одноканальная СМО с бесконечной очередью и с убывающим потоком заявок;
8. Одноканальная СМО замкнутая без очереди;
9. Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью;
10. Одноканальная СМО замкнутая без очереди и с k-источниками;
11. Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью и с k-источниками.