Интегралы дробно-рациональных функций — различия между версиями
м |
|||
(не показано 18 промежуточных версий этого же участника) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | '''Интегралы дробно-рациональных функций''' — это [[интеграл]]ы с подынтегральными функциями в виде дроби, в которой числитель и знаменатель многочлены. | + | '''Интегралы дробно-рациональных функций''' — это [[интеграл]]ы с подынтегральными [[Функции|функциями]] в виде дроби, в которой числитель и знаменатель [[Многочлен|многочлены]]. |
+ | == Обозначения == | ||
+ | Введём обозначения: | ||
+ | |||
+ | '''f(x)''' — [[дробно-рациональная функция]]; | ||
+ | |||
+ | '''f<sub>прав</sub>(x)''' — правильная рациональная дробь; | ||
+ | |||
+ | '''f<sub>неправ</sub>(x)''' — неправильная рациональная дробь; | ||
+ | |||
+ | '''P<sub>m</sub>(x)''' — [[многочлен]] степени '''m'''; | ||
+ | |||
+ | '''P<sub>n-1</sub>(x)''' — многочлен степени '''n-1'''; | ||
+ | |||
+ | '''Q<sub>n</sub>(x)''' — многочлен степени '''n'''; | ||
+ | |||
+ | '''R<sub>m-n</sub>(x)''' — многочлен степени '''m-n''' при '''m≥n'''; | ||
+ | |||
+ | '''a<sub>j</sub>, b<sub>j</sub>, c<sub>j</sub>, x<sub>0</sub>''' — коэффициенты. | ||
== Свойства интегралов == | == Свойства интегралов == | ||
− | Если знаменатель правильной рациональной дроби представим в виде произведения [[файл:ДФ40.JPG]], то интеграл от | + | === '''m≥n''' === |
− | == | + | '''Интеграл от неправильной рациональной дроби''' равен '''сумме интегралов''' от соответствующих '''целой части''' и '''правильной дроби''': |
− | [[файл: | + | |
+ | [[файл:ИДФ31.JPG]] | ||
+ | === '''m<n''' === | ||
+ | ==== '''Свойство 1 ''' ==== | ||
+ | Если знаменатель правильной рациональной дроби представим в виде произведения [[файл:ДФ40.JPG]], | ||
+ | |||
+ | то '''интеграл от правильной рациональной дроби''' равен '''сумме интегралов''' соответствующих '''простейших рациональных дробей''': | ||
+ | |||
+ | [[файл:ИДФ41.JPG]], где [[файл:ДФ42.JPG]]. | ||
+ | ==== '''Свойство 2 ''' ==== | ||
+ | Если знаменатель правильной рациональной дроби представим в виде произведения [[файл:ДФ40.JPG]], | ||
+ | |||
+ | то '''интеграл от правильной рациональной дроби''' равен '''сумме правильной рациональной дроби 1''' и '''интеграла правильной рациональной дроби 2''': | ||
+ | |||
+ | [[файл:ИДФ51.JPG]], где [[файл:ДФ50.JPG]] и | ||
− | [[файл: | + | [[файл:ДФ52.JPG]] и [[файл:ДФ53.JPG]]. |
+ | == Интегралы простейших рациональных дробей: == | ||
+ | [[файл:ИНТ411.JPG]]; | ||
− | [[файл: | + | [[файл:ИНТ412.JPG]], где '''k>1'''; |
− | [[файл: | + | [[файл:ИНТ413.JPG]]; |
− | [[файл: | + | [[файл:ИНТ414.JPG]], где '''k>1''' и |
− | [[файл: | + | [[файл:ИНТ415.JPG]]. |
== [[Математический анализ|Другие интегралы:]] == | == [[Математический анализ|Другие интегралы:]] == | ||
{{Список Инт}} | {{Список Инт}} |
Текущая версия на 15:05, 24 декабря 2022
Интегралы дробно-рациональных функций — это интегралы с подынтегральными функциями в виде дроби, в которой числитель и знаменатель многочлены.
Содержание
Обозначения
Введём обозначения:
f(x) — дробно-рациональная функция;
fправ(x) — правильная рациональная дробь;
fнеправ(x) — неправильная рациональная дробь;
Pm(x) — многочлен степени m;
Pn-1(x) — многочлен степени n-1;
Qn(x) — многочлен степени n;
Rm-n(x) — многочлен степени m-n при m≥n;
aj, bj, cj, x0 — коэффициенты.
Свойства интегралов
m≥n
Интеграл от неправильной рациональной дроби равен сумме интегралов от соответствующих целой части и правильной дроби:
m<n
Свойство 1
Если знаменатель правильной рациональной дроби представим в виде произведениято интеграл от правильной рациональной дроби равен сумме интегралов соответствующих простейших рациональных дробей:
Свойство 2
Если знаменатель правильной рациональной дроби представим в виде произведениято интеграл от правильной рациональной дроби равен сумме правильной рациональной дроби 1 и интеграла правильной рациональной дроби 2:
Интегралы простейших рациональных дробей:
Другие интегралы:
- интеграл;
- интегралы элементарных функций;
- интегралы дробно-рациональных функций;
- интегралы функций с корнями;
- интегралы тригонометрических функций;
- интегралы обратных тригонометрических функций;
- интегралы гиперболических функций;
- интегралы обратных гиперболических функций;
- интеграл Фурье;
- интеграл Фурье комплексный;
- эллиптические интегралы;
- интегралы, определяемые методом замены переменных;
- интегралы, определяемые по интегральным равенствам;
- интегралы, определяемые по интегральным формулам;
- интеграл Эйлера-Пуассона.