Классический метод Рунге-Кутты — различия между версиями
(начало) |
|||
| (не показаны 4 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | ''' | + | '''[[Метод Рунге-Кутты третьего порядка|Классический метод Рунге-Кутты]]''' — это численный метод получения решения [[Линейное дифференциальное уравнение|дифференциального уравнения]]. |
== Описание метода == | == Описание метода == | ||
Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения '''y=y(x)''' дифференциального уравнения вида '''y’=f(x,y)''' с начальным условием '''(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>)'''. | Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения '''y=y(x)''' дифференциального уравнения вида '''y’=f(x,y)''' с начальным условием '''(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>)'''. | ||
| Строка 101: | Строка 50: | ||
*Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. | *Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. | ||
*[[Участник:Logic-samara]] | *[[Участник:Logic-samara]] | ||
| − | [[Категория:Численные методы]] | + | [[Категория:Математика]][[Категория:Численные методы]] |
Текущая версия на 15:32, 6 апреля 2023
Классический метод Рунге-Кутты — это численный метод получения решения дифференциального уравнения.
Содержание
Описание метода
Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0,y0).
Классический метод Рунге-Кутты является методом 4-го порядка точности и называется методом Рунге-Кутты 4-го порядка.
Формулы
Правило Рунге
Для оценки точности расчёта решения y (например, необходимо рассчитать решение y с помощью значения для y при шаге h/2) на практике можно применять правило Рунге:
yh – значение решения y при шаге h,
yh/2 – значение решения y при шаге h/2,
m – порядок точности формулы.
Условие применения правила Рунге строго задаётся следующим неравенством:
yh – значение решения y при шаге h,
yh/2 – значение решения y при шаге h/2,
y2h – значение решения y при шаге 2h),
m – порядок точности формулы.
Правило Коллатца
При выборе шага h для достижения заданной точности решения дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) классическим методом Рунге-Кутты на практике можно применять более простое правило Коллатца:
Формула Ричардсона
Более точным (по крайней мере на порядок выше, т.е. с порядком точности m+1) значением y (по сравнению со значением yh/2) является значение y*, вычисленное или экстраполированное по формуле Ричардсона:
yh – значение решения y при шаге h,
yh/2 – значение решения y при шаге h/2,
m – порядок точности формулы.
- Заметим, что обобщением классического метода Рунге-Кутты является обобщённый метод Рунге-Кутты, используемый для решения систем дифференциальных уравнений.
Другие методы:
- Для решения систем дифференциальных уравнений используется обобщённый метод Рунге-Кутты.
Ссылки
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.
- Участник:Logic-samara
