|
|
Строка 49: |
Строка 49: |
| * Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. | | * Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. |
| * [[Участник:Logic-samara]] | | * [[Участник:Logic-samara]] |
− | [[Категория:Численные методы]]
| |
− |
| |
− | '''Классический [[метод Рунге-Кутты]]''' — это численный метод получения решения [[Линейное дифференциальное уравнение|дифференциального уравнения]].
| |
− | == Описание метода ==
| |
− | Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения '''y=y(x)''' дифференциального уравнения вида '''y’=f(x,y)''' с начальным условием '''(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>)'''.
| |
− |
| |
− | Классический [[Обобщённый метод Рунге-Кутты|метод Рунге-Кутты]] является методом 4-го порядка точности и называется '''методом Рунге-Кутты 4-го порядка'''.
| |
− | == Формулы ==
| |
− | [[файл:МРК04.JPG]]
| |
− | == Правило Рунге ==
| |
− | Для оценки точности расчёта решения '''y''' (например, необходимо рассчитать решение y с помощью значения для '''y''' при шаге '''h/2''') на практике можно применять '''правило Рунге''':
| |
− |
| |
− | [[файл:МРК041.JPG]], где
| |
− |
| |
− | '''y<sub>h</sub>''' – значение решения '''y''' при шаге '''h''',
| |
− |
| |
− | '''y<sub>h/2</sub>''' – значение решения '''y''' при шаге '''h/2''',
| |
− |
| |
− | '''m''' – порядок точности формулы.
| |
− |
| |
− | '''Условие применения правила Рунге''' строго задаётся следующим неравенством:
| |
− |
| |
− | [[файл:МРК042.JPG]], где
| |
− |
| |
− | '''y<sub>h</sub>''' – значение решения '''y''' при шаге '''h''',
| |
− |
| |
− | '''y<sub>h/2</sub>''' – значение решения '''y''' при шаге '''h/2''',
| |
− |
| |
− | '''y<sub>2h</sub>''' – значение решения '''y''' при шаге '''2h'''),
| |
− |
| |
− | '''m''' – порядок точности формулы.
| |
− | == Правило Коллатца ==
| |
− | При выборе шага '''h''' для достижения заданной точности решения дифференциального уравнения вида '''y’=f(x,y)''' классическим методом Рунге-Кутты на практике можно применять более простое '''правило Коллатца''':
| |
− |
| |
− | [[файл:МРК05.JPG]].
| |
− | == Формула Ричардсона ==
| |
− | Более точным (по крайней мере на порядок выше, т.е. с порядком точности '''m+1''') значением '''y''' (по сравнению со значением '''y<sub>h/2</sub>''') является значение '''y*''', вычисленное или экстраполированное по '''формуле Ричардсона''':
| |
− |
| |
− | [[файл:МРК06.JPG]], где
| |
− |
| |
− | '''y<sub>h</sub>''' – значение решения '''y''' при шаге '''h''',
| |
− |
| |
− | '''y<sub>h/2</sub>''' – значение решения '''y''' при шаге '''h/2''',
| |
− |
| |
− | '''m''' – порядок точности формулы.
| |
− | *Заметим, что обобщением '''классического метода Рунге-Кутты''' является '''[[обобщённый метод Рунге-Кутты]]''', используемый для решения систем дифференциальных уравнений.
| |
− | == [[Методы решения дифференциальных уравнений|Другие методы:]] ==
| |
− | {{Список МРДУ}}
| |
− | == Ссылки ==
| |
− | *Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
| |
− | *Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.
| |
− | *[[Участник:Logic-samara]]
| |
| [[Категория:Численные методы]] | | [[Категория:Численные методы]] |
Версия 11:21, 4 января 2021
Классический метод Рунге-Кутты — это численный метод получения решения дифференциального уравнения.
Описание метода
Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0,y0).
Классический метод Рунге-Кутты является методом 4-го порядка точности и называется методом Рунге-Кутты 4-го порядка.
Формулы
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
Правило Рунге
Для оценки точности расчёта решения y (например, необходимо рассчитать решение y с помощью значения для y при шаге h/2) на практике можно применять правило Рунге:
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
, где
yh – значение решения y при шаге h,
yh/2 – значение решения y при шаге h/2,
m – порядок точности формулы.
Условие применения правила Рунге строго задаётся следующим неравенством:
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
, где
yh – значение решения y при шаге h,
yh/2 – значение решения y при шаге h/2,
y2h – значение решения y при шаге 2h),
m – порядок точности формулы.
Правило Коллатца
При выборе шага h для достижения заданной точности решения дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) классическим методом Рунге-Кутты на практике можно применять более простое правило Коллатца:
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
.
Формула Ричардсона
Более точным (по крайней мере на порядок выше, т.е. с порядком точности m+1) значением y (по сравнению со значением yh/2) является значение y*, вычисленное или экстраполированное по формуле Ричардсона:
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
, где
yh – значение решения y при шаге h,
yh/2 – значение решения y при шаге h/2,
m – порядок точности формулы.
- Заметим, что обобщением классического метода Рунге-Кутты является обобщённый метод Рунге-Кутты, используемый для решения систем дифференциальных уравнений.
Ссылки
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.
- Участник:Logic-samara