Интегралы дробно-рациональных функций

Интегралы дробно-рациональных функций — это интегралы с подынтегральными функциями в виде дроби, в которой числитель и знаменатель многочлены.

Обозначения

Введём обозначения:

f(x) — дробно-рациональная функция;

f_прав(x) — правильная рациональная дробь;

f_неправ(x) — неправильная рациональная дробь;

P_m(x) — многочлен степени m;

P_n-1(x) — многочлен степени n-1;

Q_n(x) — многочлен степени n;

R_m-n(x) — многочлен степени m-n при m≥n;

a_j, b_j, c_j, x₀ — коэффициенты.

Свойства интегралов

m≥n

Интеграл от неправильной рациональной дроби равен сумме интегралов от соответствующих целой части и правильной дроби:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

m<n

Свойство 1

Если знаменатель правильной рациональной дроби представим в виде произведения

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

,

то интеграл от правильной рациональной дроби равен сумме интегралов соответствующих простейших рациональных дробей:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

, где

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

.

Свойство 2

Если знаменатель правильной рациональной дроби представим в виде произведения

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

,

то интеграл от правильной рациональной дроби равен сумме правильной рациональной дроби 1 и интеграла правильной рациональной дроби 2:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

, где

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

.

Интегралы простейших рациональных дробей:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

, где k>1;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

, где k>1 и

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

.

Другие интегралы:

• интеграл;
• интегралы элементарных функций;
• интегралы дробно-рациональных функций;
• интегралы функций с корнями;
• интегралы тригонометрических функций;
• интегралы обратных тригонометрических функций;
• интегралы гиперболических функций;
• интегралы обратных гиперболических функций;
• интеграл Фурье;
• интеграл Фурье комплексный;
• эллиптические интегралы;
• интегралы, определяемые методом замены переменных;
• интегралы, определяемые по интегральным равенствам;
• интегралы, определяемые по интегральным формулам;
• интеграл Эйлера-Пуассона.

Ссылки

• Участник:Logic-samara