Длина дуги астроиды

Астроида

Длина дуги астроиды — это число, характеризующее протяжённость дуги астроиды в единицах измерения длины.

Астроида — это линия, описываемая точкой малой окружности радиуса в четверть фиксированного радиуса, когда она катится без скольжения по внутреннкей стороне окружности фиксированного радиуса.

Рассмотрим дуги астроиды, исходящей из точки (0,R) до точки (R,0).

Обозначения

x₁ — абсцисса (меньшая) первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

t₁ — параметр первой точки дуги;

x₂ — абсцисса (большая) второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

t₂ — параметр второй точки дуги;

R — радиус окружности и высота астроиды;

r — радиус малой окружности;

M=(x,y) — точка астроиды;

M₀=(0,R) — вершина астроиды;

x^2/3+y^2/3=R^2/3 — уравнение астроиды;

t — параметрическая переменная;

x=Rcos³t — параметрическое уравнение абсциссы астроиды;

y=Rsin³t — параметрическое уравнение ординаты астроиды;

L_{дуг.астр} — длина дуги астроиды.

Формула

• Заметим, что длина дуги астроиды M₀M от вершины равна L_x=3R^1/3x^2/3/2.

Вывод формулы

1-ый способ

• Для вывода используется формула "длина дуги плоской кривой" в прямоугольных координатах.

2-ой способ

• Для вывода используется формула "длина дуги плоской кривой" в параметрической форме, причём 0<t₁<t₂<π/2.

Другие кривые:

• плоская кривая;
• окружность;
• парабола;
• эллипс;
• гипербола;
• синусоида;
• косинусоида;
• циклоида;
• кардиоида;
• астроида;
• эпициклоида;
• гипоциклоида;
• эвольвента;
• цепная линия;
• трактриса;
• лемниската Бернулли.

Ссылки

• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.814.