Интерполяционная формула Бесселя

Интерполяция Бесселя — это определение значений многочлена n-ой степени (проходящего через заданные (2n+1)-у точку) в заданной точке по формуле.

Обозначения:

<math>x</math> − заданная точка;

<math>B_n(x)</math> − значение формулы n-ого порядка в точке x;

<math>(x_j,y_j)</math> − точки (узлы) интерполяции (-n≤j≤n);

<math>h</math> − шаг по оси абсцисс;

<math>q=\frac{x-x_0}{h}</math> − параметр заданной точки (0,25≤q≤0,75);

<math>x_j= x_0 + jh</math> − абсцисса j-той точки (-n≤j≤n);

<math>y_j</math> − ордината j-той точки (-n≤j≤n);

<math>\Delta^1y_j={y_{j+1}}-{y_j}</math> − j-ая конечная разность 1-ого порядка (-n≤j≤n);

<math>\Delta^iy_j={\Delta^{i-1}y_{j+1}}-{\Delta^{i-1}y_j}</math> − j-ая конечная разность i-ого порядка (i>1, -n≤j≤n).

Формула

<math>B_{2k}(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{i-1}{\left(q^2-j^2\right)}}{q\left(q+i-1\right)\left(2i-1\right)!}\Delta^{2i-1}y_{-i+1}}+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^i\left(q^2-j^2\right)}{q\left(q+i\right)\left(2i\right)!}\frac{\Delta^{2i}y_{-i}+\Delta^{2i}y_{-i+1}}{2}},q=\frac{x-x_0}{h}</math>

<math>B_{2k+1}(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^i\left(q^2-j^2\right)}{q\left(q+i\right)\left(2i\right)!}\frac{\Delta^{2i}y_{-i}+\Delta^{2i}y_{-i+1}}{2}}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\sum\limits_{i=0}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^i{\left(q^2-j^2\right)}\Delta^{2i+1}y_{-i}}{q\left(q+i\right)\left(2i+1\right)!}},q=\frac{x-x_0}{h}</math>

• При <math>q=\frac{1}{2}</math> интерполяционная формула Бесселя упрощается и называется формулой интерполирования на середину.

Примеры формулы

<math>q=\frac{x-x_0}{h}</math>

Линейная интерполяция (n=1)

<math>B_1(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0</math>

<math>B_1(x)=y_0+q\Delta y_0</math>

Квадратическая интерполяция (n=2)

<math>B_2(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{2}\frac{\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0}{2}</math>

<math>B_2(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0\right)</math>

<math>B_2(x)=y_0+q\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta y_1-\Delta y_{-1}\right)</math>

Кубическая интерполяция (n=3)

<math>B_3(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{2}\frac{\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\frac{q\left(q-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-1}</math>

<math>B_3(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0\right)+\left(q-\frac{1}{2}\right)\frac{q\left(q-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-1}</math>

<math>B_3(x)=y_0+q\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta y_1-\Delta y_{-1}\right)+\left(q-\frac{1}{2}\right)\frac{q\left(q-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-1}</math>

Литература

• Ермаков В. И. Справочник по математике для экономистов — М.: Высшая школа, 1997, стр.313.