Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра к плоскости, опущенного из точки. Расстояние от точки до плоскости равно модулю отклонения точки от плоскости.

Обозначения

Введём обозначения:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— радиус-вектор точки;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— вектор нормали к плоскости;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— уравнение плоскости;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— отклонение точки от плоскости;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— расстояние от точки до плоскости.

Формула

Для точки и плоскости формула расстояния имеет вид:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Расстояние от точки до плоскости равно отношению модуля суммы скалярного произведения векторов (r₀ и n₁) и коэффициента D₁ к длине нормали (n₁). Геометрический смысл формулы: расстояние - это длина отклонения точки от плоскости.

Формула расстояния от точки до плоскости в координатной форме имеет вид:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Пример

Даны точка и плоскость:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Найти расстояние между ними.

Решение.

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Другие формулы:

• расстояние между точками;
• расстояние между прямыми;
• расстояние от точки до прямой;
• расстояние от точки до плоскости.

Ссылки

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970, стр.83.
• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.165.
• Участник:Logic-samara