Интегралы дробно-рациональных функций — различия между версиями
м |
|||
(не показано 8 промежуточных версий этого же участника) | |||
Строка 3: | Строка 3: | ||
Введём обозначения: | Введём обозначения: | ||
− | '''f(x)''' — дробно-рациональная функция; | + | '''f(x)''' — [[дробно-рациональная функция]]; |
'''f<sub>прав</sub>(x)''' — правильная рациональная дробь; | '''f<sub>прав</sub>(x)''' — правильная рациональная дробь; | ||
− | '''f<sub>неправ</sub>(x)''' — неправильная рациональная дробь; | + | '''f<sub>неправ</sub>(x)''' — неправильная рациональная дробь; |
− | '''P<sub>m</sub>(x)''' — многочлен степени '''m'''; | + | '''P<sub>m</sub>(x)''' — [[многочлен]] степени '''m'''; |
'''P<sub>n-1</sub>(x)''' — многочлен степени '''n-1'''; | '''P<sub>n-1</sub>(x)''' — многочлен степени '''n-1'''; | ||
Строка 20: | Строка 20: | ||
== Свойства интегралов == | == Свойства интегралов == | ||
=== '''m≥n''' === | === '''m≥n''' === | ||
− | Интеграл от | + | '''Интеграл от неправильной рациональной дроби''' равен '''сумме интегралов''' от соответствующих '''целой части''' и '''правильной дроби''': |
[[файл:ИДФ31.JPG]] | [[файл:ИДФ31.JPG]] | ||
=== '''m<n''' === | === '''m<n''' === | ||
+ | ==== '''Свойство 1 ''' ==== | ||
Если знаменатель правильной рациональной дроби представим в виде произведения [[файл:ДФ40.JPG]], | Если знаменатель правильной рациональной дроби представим в виде произведения [[файл:ДФ40.JPG]], | ||
− | то интеграл от | + | то '''интеграл от правильной рациональной дроби''' равен '''сумме интегралов''' соответствующих '''простейших рациональных дробей''': |
[[файл:ИДФ41.JPG]], где [[файл:ДФ42.JPG]]. | [[файл:ИДФ41.JPG]], где [[файл:ДФ42.JPG]]. | ||
+ | ==== '''Свойство 2 ''' ==== | ||
+ | Если знаменатель правильной рациональной дроби представим в виде произведения [[файл:ДФ40.JPG]], | ||
+ | |||
+ | то '''интеграл от правильной рациональной дроби''' равен '''сумме правильной рациональной дроби 1''' и '''интеграла правильной рациональной дроби 2''': | ||
+ | |||
+ | [[файл:ИДФ51.JPG]], где [[файл:ДФ50.JPG]] и | ||
+ | |||
+ | [[файл:ДФ52.JPG]] и [[файл:ДФ53.JPG]]. | ||
== Интегралы простейших рациональных дробей: == | == Интегралы простейших рациональных дробей: == | ||
− | [[файл:ИНТ411.JPG]] | + | [[файл:ИНТ411.JPG]]; |
− | [[файл:ИНТ412.JPG]] | + | [[файл:ИНТ412.JPG]], где '''k>1'''; |
− | [[файл:ИНТ413.JPG]] | + | [[файл:ИНТ413.JPG]]; |
− | [[файл:ИНТ414.JPG]], где | + | [[файл:ИНТ414.JPG]], где '''k>1''' и |
− | [[файл:ИНТ415.JPG]] | + | [[файл:ИНТ415.JPG]]. |
== [[Математический анализ|Другие интегралы:]] == | == [[Математический анализ|Другие интегралы:]] == | ||
{{Список Инт}} | {{Список Инт}} |
Текущая версия на 15:05, 24 декабря 2022
Интегралы дробно-рациональных функций — это интегралы с подынтегральными функциями в виде дроби, в которой числитель и знаменатель многочлены.
Содержание
Обозначения
Введём обозначения:
f(x) — дробно-рациональная функция;
fправ(x) — правильная рациональная дробь;
fнеправ(x) — неправильная рациональная дробь;
Pm(x) — многочлен степени m;
Pn-1(x) — многочлен степени n-1;
Qn(x) — многочлен степени n;
Rm-n(x) — многочлен степени m-n при m≥n;
aj, bj, cj, x0 — коэффициенты.
Свойства интегралов
m≥n
Интеграл от неправильной рациональной дроби равен сумме интегралов от соответствующих целой части и правильной дроби:
m<n
Свойство 1
Если знаменатель правильной рациональной дроби представим в виде произведениято интеграл от правильной рациональной дроби равен сумме интегралов соответствующих простейших рациональных дробей:
Свойство 2
Если знаменатель правильной рациональной дроби представим в виде произведениято интеграл от правильной рациональной дроби равен сумме правильной рациональной дроби 1 и интеграла правильной рациональной дроби 2:
Интегралы простейших рациональных дробей:
Другие интегралы:
- интеграл;
- интегралы элементарных функций;
- интегралы дробно-рациональных функций;
- интегралы функций с корнями;
- интегралы тригонометрических функций;
- интегралы обратных тригонометрических функций;
- интегралы гиперболических функций;
- интегралы обратных гиперболических функций;
- интеграл Фурье;
- интеграл Фурье комплексный;
- эллиптические интегралы;
- интегралы, определяемые методом замены переменных;
- интегралы, определяемые по интегральным равенствам;
- интегралы, определяемые по интегральным формулам;
- интеграл Эйлера-Пуассона.