Интерполяционная формула Бесселя — различия между версиями
м |
м |
||
| Строка 21: | Строка 21: | ||
:<math>q=\frac{x-x_0}{h}</math> | :<math>q=\frac{x-x_0}{h}</math> | ||
=== Линейная интерполяция (n=1) === | === Линейная интерполяция (n=1) === | ||
| − | + | [[файл:ИБ01.png]] | |
| − | :<math>B_1(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0</math> | + | <!--:<math>B_1(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0</math> |
| − | :<math>B_1(x)=y_0+q\Delta y_0</math> | + | :<math>B_1(x)=y_0+q\Delta y_0</math>--> |
=== Квадратическая интерполяция (n=2) === | === Квадратическая интерполяция (n=2) === | ||
| − | + | [[файл:ИБ02.png]] | |
| − | :<math>B_2(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{2}\frac{\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0}{2}</math> | + | <!--:<math>B_2(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{2}\frac{\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0}{2}</math> |
:<math>B_2(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0\right)</math> | :<math>B_2(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0\right)</math> | ||
| − | :<math>B_2(x)=y_0+q\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta y_1-\Delta y_{-1}\right)</math> | + | :<math>B_2(x)=y_0+q\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta y_1-\Delta y_{-1}\right)</math>--> |
=== Кубическая интерполяция (n=3) === | === Кубическая интерполяция (n=3) === | ||
| − | + | [[файл:ИБ03.png]] | |
| − | :<math>B_3(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{2}\frac{\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\frac{q\left(q-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-1}</math> | + | <!--:<math>B_3(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{2}\frac{\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\frac{q\left(q-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-1}</math> |
:<math>B_3(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0\right)+\left(q-\frac{1}{2}\right)\frac{q\left(q-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-1}</math> | :<math>B_3(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0\right)+\left(q-\frac{1}{2}\right)\frac{q\left(q-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-1}</math> | ||
| − | :<math>B_3(x)=y_0+q\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta y_1-\Delta y_{-1}\right)+\left(q-\frac{1}{2}\right)\frac{q\left(q-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-1}</math> | + | :<math>B_3(x)=y_0+q\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta y_1-\Delta y_{-1}\right)+\left(q-\frac{1}{2}\right)\frac{q\left(q-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-1}</math>--> |
== [[Интерполяция|Другие формулы:]] == | == [[Интерполяция|Другие формулы:]] == | ||
{{Список МИН}} | {{Список МИН}} | ||
Версия 16:57, 25 октября 2024
Интерполяция Бесселя — это определение значений многочлена n-ой степени (проходящего через заданные (2n+1)-у точку) в заданной точке по формуле.
Содержание
Обозначения:
- <math>x</math> − заданная точка;
- <math>B_n(x)</math> − значение формулы n-ого порядка в точке x;
- <math>(x_j,y_j)</math> − точки (узлы) интерполяции (-n≤j≤n);
- <math>h</math> − шаг по оси абсцисс;
- <math>q=\frac{x-x_0}{h}</math> − параметр заданной точки (0,25≤q≤0,75);
- <math>x_j= x_0 + jh</math> − абсцисса j-той точки (-n≤j≤n);
- <math>y_j</math> − ордината j-той точки (-n≤j≤n);
- <math>\Delta^1y_j={y_{j+1}}-{y_j}</math> − j-ая конечная разность 1-ого порядка (-n≤j≤n);
- <math>\Delta^iy_j={\Delta^{i-1}y_{j+1}}-{\Delta^{i-1}y_j}</math> − j-ая конечная разность i-ого порядка (i>1, -n≤j≤n).
Формула
- При <math>q=\frac{1}{2}</math> интерполяционная формула Бесселя упрощается и называется формулой интерполирования на середину.
Примеры формулы
- <math>q=\frac{x-x_0}{h}</math>
Линейная интерполяция (n=1)
Квадратическая интерполяция (n=2)
Кубическая интерполяция (n=3)
Другие формулы:
- Линейная интерполяция;
- Интерполяция каноническим многочленом;
- Интерполяционная формула Бесселя;
- Интерполяционная формула Бесселя на середину;
- Интерполяционная формула Гаусса вперёд (первая формула);
- Интерполяционная формула Гаусса назад (вторая формула);
- Интерполяционная формула Лагранжа;
- Интерполяционная формула Ньютона вперёд (первая формула);
- Интерполяционная формула Ньютона назад (вторая формула);
- Интерполяционная формула Стирлинга.
Литература
- Ермаков В. И. Справочник по математике для экономистов — М.: Высшая школа, 1997, стр.313.
