Интегралы дробно-рациональных функций — различия между версиями
м |
|||
| (не показана 1 промежуточная версия этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Интегралы дробно-рациональных функций''' — это [[интеграл]]ы с подынтегральными [[Функции|функциями]] в виде дроби, в которой числитель и знаменатель [[Многочлен|многочлены]]. | '''Интегралы дробно-рациональных функций''' — это [[интеграл]]ы с подынтегральными [[Функции|функциями]] в виде дроби, в которой числитель и знаменатель [[Многочлен|многочлены]]. | ||
== Обозначения == | == Обозначения == | ||
| − | |||
| − | |||
'''f(x)''' — [[дробно-рациональная функция]]; | '''f(x)''' — [[дробно-рациональная функция]]; | ||
| Строка 9: | Строка 7: | ||
'''f<sub>неправ</sub>(x)''' — неправильная рациональная дробь; | '''f<sub>неправ</sub>(x)''' — неправильная рациональная дробь; | ||
| − | '''P<sub>m</sub>(x)''' — многочлен степени '''m'''; | + | '''P<sub>m</sub>(x)''' — [[многочлен]] степени '''m'''; |
'''P<sub>n-1</sub>(x)''' — многочлен степени '''n-1'''; | '''P<sub>n-1</sub>(x)''' — многочлен степени '''n-1'''; | ||
| Строка 51: | Строка 49: | ||
{{Список Инт}} | {{Список Инт}} | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
| − | + | [[Категория:Математика]][[Категория:Функции]] | |
| − | [[Категория: | ||
Текущая версия на 14:40, 18 февраля 2025
Интегралы дробно-рациональных функций — это интегралы с подынтегральными функциями в виде дроби, в которой числитель и знаменатель многочлены.
Содержание
Обозначения
f(x) — дробно-рациональная функция;
fправ(x) — правильная рациональная дробь;
fнеправ(x) — неправильная рациональная дробь;
Pm(x) — многочлен степени m;
Pn-1(x) — многочлен степени n-1;
Qn(x) — многочлен степени n;
Rm-n(x) — многочлен степени m-n при m≥n;
aj, bj, cj, x0 — коэффициенты.
Свойства интегралов
m≥n
Интеграл от неправильной рациональной дроби равен сумме интегралов от соответствующих целой части и правильной дроби:
m<n
Свойство 1
Если знаменатель правильной рациональной дроби представим в виде произведения 
,
то интеграл от правильной рациональной дроби равен сумме интегралов соответствующих простейших рациональных дробей:
, где 
.
Свойство 2
Если знаменатель правильной рациональной дроби представим в виде произведения ,
то интеграл от правильной рациональной дроби равен сумме правильной рациональной дроби 1 и интеграла правильной рациональной дроби 2:
, где 
и
и 
.
Интегралы простейших рациональных дробей:
;
, где k>1;
;
, где k>1 и
.
Другие интегралы:
- интеграл;
- интегралы элементарных функций;
- интегралы дробно-рациональных функций;
- интегралы функций с корнями;
- интегралы тригонометрических функций;
- интегралы обратных тригонометрических функций;
- интегралы гиперболических функций;
- интегралы обратных гиперболических функций;
- интеграл Фурье;
- интеграл Фурье комплексный;
- эллиптические интегралы;
- интегралы, определяемые методом замены переменных;
- интегралы, определяемые по интегральным равенствам;
- интегралы, определяемые по интегральным формулам;
- интеграл Эйлера-Пуассона.
