Интегралы дробно-рациональных функций — различия между версиями
м |
м |
||
Строка 30: | Строка 30: | ||
[[файл:ИДФ41.JPG]], где [[файл:ДФ42.JPG]]. | [[файл:ИДФ41.JPG]], где [[файл:ДФ42.JPG]]. | ||
== Интегралы простейших рациональных дробей: == | == Интегралы простейших рациональных дробей: == | ||
− | [[файл:ИНТ411.JPG]] | + | [[файл:ИНТ411.JPG]]; |
− | [[файл:ИНТ412.JPG]] | + | [[файл:ИНТ412.JPG]], где '''k>1'''; |
− | [[файл:ИНТ413.JPG]] | + | [[файл:ИНТ413.JPG]]; |
− | [[файл:ИНТ414.JPG]], где | + | [[файл:ИНТ414.JPG]], где '''k>1''' и |
− | [[файл:ИНТ415.JPG]] | + | [[файл:ИНТ415.JPG]]. |
== [[Математический анализ|Другие интегралы:]] == | == [[Математический анализ|Другие интегралы:]] == | ||
{{Список Инт}} | {{Список Инт}} |
Версия 18:57, 10 января 2021
Интегралы дробно-рациональных функций — это интегралы с подынтегральными функциями в виде дроби, в которой числитель и знаменатель многочлены.
Содержание
Обозначения
Введём обозначения:
f(x) — дробно-рациональная функция;
fправ(x) — правильная рациональная дробь;
fнеправ(x) — неправильная рациональная дробь;
Pm(x) — многочлен степени m;
Pn-1(x) — многочлен степени n-1;
Qn(x) — многочлен степени n;
Rm-n(x) — многочлен степени m-n при m≥n;
aj, bj, cj, x0 — коэффициенты.
Свойства интегралов
m≥n
Интеграл от неправильной рациональной дроби равен сумме интегралов от соответствующих целой части и правильной дроби:
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
m<n
Если знаменатель правильной рациональной дроби представим в виде произведенияОшибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
,
то интеграл от правильной рациональной дроби равен сумме интегралов соответствующих простейших рациональных дробей:
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
, где Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
.
Интегралы простейших рациональных дробей:
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
;
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
, где k>1;
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
;
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
, где k>1 и
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
.
Другие интегралы:
- интеграл;
- интегралы элементарных функций;
- интегралы дробно-рациональных функций;
- интегралы функций с корнями;
- интегралы тригонометрических функций;
- интегралы обратных тригонометрических функций;
- интегралы гиперболических функций;
- интегралы обратных гиперболических функций;
- интеграл Фурье;
- интеграл Фурье комплексный;
- эллиптические интегралы;
- интегралы, определяемые методом замены переменных;
- интегралы, определяемые по интегральным равенствам;
- интегралы, определяемые по интегральным формулам;
- интеграл Эйлера-Пуассона.