Интегралы дробно-рациональных функций — различия между версиями

Материал из Мегапедии
Перейти к: навигация, поиск
м
м
Строка 37: Строка 37:
 
[[файл:ИДФ51.JPG]], где  [[файл:ДФ50.JPG]] и
 
[[файл:ИДФ51.JPG]], где  [[файл:ДФ50.JPG]] и
  
[[файл:ДФ52.JPG]].
+
[[файл:ДФ52.JPG]] и [[файл:ДФ53.JPG]].
 
== Интегралы простейших рациональных дробей: ==
 
== Интегралы простейших рациональных дробей: ==
 
[[файл:ИНТ411.JPG]];
 
[[файл:ИНТ411.JPG]];

Версия 17:25, 11 января 2021

Интегралы дробно-рациональных функций — это интегралы с подынтегральными функциями в виде дроби, в которой числитель и знаменатель многочлены.

Обозначения

Введём обозначения:

f(x) — дробно-рациональная функция;

fправ(x) — правильная рациональная дробь;

fнеправ(x) — неправильная рациональная дробь;

Pm(x) — многочлен степени m;

Pn-1(x) — многочлен степени n-1;

Qn(x) — многочлен степени n;

Rm-n(x) — многочлен степени m-n при m≥n;

aj, bj, cj, x0 — коэффициенты.

Свойства интегралов

m≥n

Интеграл от неправильной рациональной дроби равен сумме интегралов от соответствующих целой части и правильной дроби:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

m<n

Свойство 1

Если знаменатель правильной рациональной дроби представим в виде произведения
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
,

то интеграл от правильной рациональной дроби равен сумме интегралов соответствующих простейших рациональных дробей:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
, где
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
.

Свойство 2

Если знаменатель правильной рациональной дроби представим в виде произведения
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
,

то интеграл от правильной рациональной дроби равен сумме правильной рациональной дроби 1 и интеграла правильной рациональной дроби 2:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
, где
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
и
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
и
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
.

Интегралы простейших рациональных дробей:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
;
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
, где k>1;
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
;
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
, где k>1 и
Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения
.

Другие интегралы:

Ссылки