Интерполяционная формула Гаусса назад — различия между версиями
(начало) |
м |
||
| (не показаны 2 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''[[Интерполяция]] Гаусса назад (вторая формула)''' — это определение значений многочлена '''n'''-ой степени (проходящего через заданные '''(2n+1)'''-у точку) в заданной точке по формуле. | '''[[Интерполяция]] Гаусса назад (вторая формула)''' — это определение значений многочлена '''n'''-ой степени (проходящего через заданные '''(2n+1)'''-у точку) в заданной точке по формуле. | ||
== Обозначения: == | == Обозначения: == | ||
| − | :<math>x</math> − заданная точка; | + | '''x''' − заданная точка; |
| + | |||
| + | '''G<sub>n</sub>(x)''' − значение формулы '''n'''-ого порядка в точке '''x'''; | ||
| + | |||
| + | '''(x<sub>j</sub>,y<sub>j</sub>)''' − точки (узлы) интерполяции '''(-n≤j≤n)'''; | ||
| + | |||
| + | '''h''' − шаг по оси абсцисс; | ||
| + | |||
| + | '''q=(x-x<sub>0</sub>)/h''' − параметр заданной точки '''(q<0)'''; | ||
| + | |||
| + | '''x<sub>j</sub>= x<sub>0</sub>+jh''' − абсцисса '''j'''-той точки '''(-n≤j≤n)'''; | ||
| + | |||
| + | '''y<sub>j</sub>''' − ордината '''j'''-той точки '''(-n≤j≤n);''' | ||
| + | |||
| + | '''Δ<sup>1</sup>y<sub>j</sub>=y<sub>j+1</sub>-y<sub>j</sub>''' − '''j'''-ая конечная разность '''1'''-ого порядка '''(-n≤j≤n)'''; | ||
| + | |||
| + | '''Δ<sup>i</sup>y<sub>j</sub>=Δ<sup>i-1</sup><sub>j+1</sub>-Δ<sup>i-1</sup>y<sub>j</sub>''' − '''j'''-ая конечная разность '''i'''-ого порядка '''(i>1, -n≤j≤n)'''. | ||
| + | |||
| + | <!--:<math>x</math> − заданная точка; | ||
:<math>G_{n}(x)</math> − значение формулы n-ого порядка в точке x; | :<math>G_{n}(x)</math> − значение формулы n-ого порядка в точке x; | ||
:<math>(x_j,y_j)</math> − точки (узлы) интерполяции (-n≤j≤n); | :<math>(x_j,y_j)</math> − точки (узлы) интерполяции (-n≤j≤n); | ||
| Строка 9: | Строка 27: | ||
:<math>y_j</math> − ордината j-той точки (-n≤j≤n); | :<math>y_j</math> − ордината j-той точки (-n≤j≤n); | ||
:<math>\Delta^1y_j={y_{j+1}}-{y_j}</math> − j-ая конечная разность 1-ого порядка (-n≤j≤n); | :<math>\Delta^1y_j={y_{j+1}}-{y_j}</math> − j-ая конечная разность 1-ого порядка (-n≤j≤n); | ||
| − | :<math>\Delta^iy_j={\Delta^{i-1}y_{j+1}}-{\Delta^{i-1}y_j}</math> − j-ая конечная разность i-ого порядка (i>1, -n≤j≤n). | + | :<math>\Delta^iy_j={\Delta^{i-1}y_{j+1}}-{\Delta^{i-1}y_j}</math> − j-ая конечная разность i-ого порядка (i>1, -n≤j≤n).--> |
== Формула == | == Формула == | ||
[[файл:ИГ02.png]] | [[файл:ИГ02.png]] | ||
| − | <!--:<math>G_{2k}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i-2}{\left(q+i-1-j\right)}}{\left(2i-1\right)!}\Delta^{2i-1}y_{-i}}+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i-1}{\left(q+i-j\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}},q=\frac{x-x_0}{h}</math> | + | <!--:<math>G_{2k}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i-2}{\left(q+i-1-j\right)}}{\left(2i-1\right)!}\Delta^{2i-1}y_{-i}}+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i-1}{\left(q+i-j\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}},q=\frac{x-x_0}{h}</math>--> |
| − | :<math>G_{2k}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{q\prod\limits_{j=1}^{i-1}{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i-1\right)!}\Delta^{2i-1}y_{-i}}+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{q\left(q+i\right)\prod\limits_{j=1}^{i-1}{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}},q=\frac{x-x_0}{h}</math> | + | <!--:<math>G_{2k}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{q\prod\limits_{j=1}^{i-1}{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i-1\right)!}\Delta^{2i-1}y_{-i}}+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{q\left(q+i\right)\prod\limits_{j=1}^{i-1}{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}},q=\frac{x-x_0}{h}</math>--> |
| − | :<math>G_{2k+1}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i-1}{\left(q+i-j\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}}+\sum\limits_{i=0}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i}{\left(q+i-j\right)}}{\left(2i+1\right)!}\Delta^{2i+1}y_{-i-1}},q=\frac{x-x_0}{h}</math> | + | <!--:<math>G_{2k+1}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i-1}{\left(q+i-j\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}}+\sum\limits_{i=0}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i}{\left(q+i-j\right)}}{\left(2i+1\right)!}\Delta^{2i+1}y_{-i-1}},q=\frac{x-x_0}{h}</math>--> |
| − | :<math>G_{2k+1}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{q\left(q+i\right)\prod\limits_{j=1}^{i-1}{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}}+\sum\limits_{i=0}^k{\frac{q\prod\limits_{j=1}^i{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i+1\right)!}\Delta^{2i+1}y_{-i-1}},q=\frac{x-x_0}{h}</math>--> | + | <!--:<math>G_{2k+1}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{q\left(q+i\right)\prod\limits_{j=1}^{i-1}{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}}+\sum\limits_{i=0}^k{\frac{q\prod\limits_{j=1}^i{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i+1\right)!}\Delta^{2i+1}y_{-i-1}},q=\frac{x-x_0}{h}</math>--> |
== Примеры формулы == | == Примеры формулы == | ||
<!--:<math>q=\frac{x-x_0}{h}</math>--> | <!--:<math>q=\frac{x-x_0}{h}</math>--> | ||
[[файл:ИГ12.png]] | [[файл:ИГ12.png]] | ||
| − | === Линейная интерполяция (n=1) === | + | <!--=== Линейная интерполяция (n=1) === |
| − | + | :<math>G_1(x)=y_0+q\Delta y_{-1}</math> | |
=== Квадратическая интерполяция (n=2) === | === Квадратическая интерполяция (n=2) === | ||
| − | + | <math>G_2(x)=y_0+q\Delta y_{-1}+\frac{q\left(q+1\right)}{2}\Delta^2 y_{-1}</math> | |
=== Кубическая интерполяция (n=3) === | === Кубическая интерполяция (n=3) === | ||
| − | + | :<math>G_3(x)=y_0+q\Delta y_{-1}+\frac{q\left(q+1\right)}{2}\Delta^2 y_{-1}+\frac{q\left(q^2-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-2}</math> | |
=== Интерполяция многочленом 4-й степени (n=4) === | === Интерполяция многочленом 4-й степени (n=4) === | ||
| − | + | :<math>G_4(x)=y_0+q\Delta y_{-1}+\frac{q\left(q+1\right)}{2}\Delta^2 y_{-1}+\frac{q\left(q^2-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-2}+\frac{q^2\left(q^2-1\right)\left(q+2\right)}{24}\Delta^4 y_{-2}</math> | |
=== Интерполяция многочленом 5-й степени (n=5) === | === Интерполяция многочленом 5-й степени (n=5) === | ||
| − | + | :<math>G_5(x)=y_0+q\Delta y_{-1}+\frac{q\left(q+1\right)}{2}\Delta^2 y_{-1}+\frac{q\left(q^2-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-2}+\frac{q^2\left(q^2-1\right)\left(q+2\right)}{24}\Delta^4 y_{-2}+\frac{q\left(q^2-1\right)\left(q^2-4\right)}{120}\Delta^5 y_{-3}</math> | |
=== Интерполяция многочленом 6-й степени (n=6) === | === Интерполяция многочленом 6-й степени (n=6) === | ||
| − | + | :<math>G_6(x)=y_0+q\Delta y_{-1}+\frac{q\left(q+1\right)}{2}\Delta^2 y_{-1}+\frac{q\left(q^2-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-2}+\frac{q^2\left(q^2-1\right)\left(q+2\right)}{24}\Delta^4 y_{-2}+\frac{q\left(q^2-1\right)\left(q^2-4\right)}{120}\Delta^5 y_{-3}+\frac{q^2\left(q^2-1\right)\left(q^2-4\right)\left(q+3\right)}{720}\Delta^6 y_{-3}</math>--> | |
== [[Интерполяция|Другие формулы:]] == | == [[Интерполяция|Другие формулы:]] == | ||
{{Список МИН}} | {{Список МИН}} | ||
Текущая версия на 18:49, 25 октября 2024
Интерполяция Гаусса назад (вторая формула) — это определение значений многочлена n-ой степени (проходящего через заданные (2n+1)-у точку) в заданной точке по формуле.
Обозначения:
x − заданная точка;
Gn(x) − значение формулы n-ого порядка в точке x;
(xj,yj) − точки (узлы) интерполяции (-n≤j≤n);
h − шаг по оси абсцисс;
q=(x-x0)/h − параметр заданной точки (q<0);
xj= x0+jh − абсцисса j-той точки (-n≤j≤n);
yj − ордината j-той точки (-n≤j≤n);
Δ1yj=yj+1-yj − j-ая конечная разность 1-ого порядка (-n≤j≤n);
Δiyj=Δi-1j+1-Δi-1yj − j-ая конечная разность i-ого порядка (i>1, -n≤j≤n).
Формула
Примеры формулы
Другие формулы:
- Линейная интерполяция;
- Интерполяция каноническим многочленом;
- Интерполяционная формула Бесселя;
- Интерполяционная формула Бесселя на середину;
- Интерполяционная формула Гаусса вперёд (первая формула);
- Интерполяционная формула Гаусса назад (вторая формула);
- Интерполяционная формула Лагранжа;
- Интерполяционная формула Ньютона вперёд (первая формула);
- Интерполяционная формула Ньютона назад (вторая формула);
- Интерполяционная формула Стирлинга.
