Интерполяционная формула Гаусса назад — различия между версиями
(начало) |
м |
||
| Строка 12: | Строка 12: | ||
== Формула == | == Формула == | ||
[[файл:ИГ02.png]] | [[файл:ИГ02.png]] | ||
| − | <!--:<math>G_{2k}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i-2}{\left(q+i-1-j\right)}}{\left(2i-1\right)!}\Delta^{2i-1}y_{-i}}+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i-1}{\left(q+i-j\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}},q=\frac{x-x_0}{h}</math> | + | <!--:<math>G_{2k}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i-2}{\left(q+i-1-j\right)}}{\left(2i-1\right)!}\Delta^{2i-1}y_{-i}}+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i-1}{\left(q+i-j\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}},q=\frac{x-x_0}{h}</math>--> |
| − | :<math>G_{2k}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{q\prod\limits_{j=1}^{i-1}{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i-1\right)!}\Delta^{2i-1}y_{-i}}+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{q\left(q+i\right)\prod\limits_{j=1}^{i-1}{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}},q=\frac{x-x_0}{h}</math> | + | <!--:<math>G_{2k}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{q\prod\limits_{j=1}^{i-1}{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i-1\right)!}\Delta^{2i-1}y_{-i}}+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{q\left(q+i\right)\prod\limits_{j=1}^{i-1}{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}},q=\frac{x-x_0}{h}</math>--> |
| − | :<math>G_{2k+1}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i-1}{\left(q+i-j\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}}+\sum\limits_{i=0}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i}{\left(q+i-j\right)}}{\left(2i+1\right)!}\Delta^{2i+1}y_{-i-1}},q=\frac{x-x_0}{h}</math> | + | <!--:<math>G_{2k+1}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i-1}{\left(q+i-j\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}}+\sum\limits_{i=0}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{2i}{\left(q+i-j\right)}}{\left(2i+1\right)!}\Delta^{2i+1}y_{-i-1}},q=\frac{x-x_0}{h}</math>--> |
| − | :<math>G_{2k+1}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{q\left(q+i\right)\prod\limits_{j=1}^{i-1}{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}}+\sum\limits_{i=0}^k{\frac{q\prod\limits_{j=1}^i{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i+1\right)!}\Delta^{2i+1}y_{-i-1}},q=\frac{x-x_0}{h}</math>--> | + | <!--:<math>G_{2k+1}(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{q\left(q+i\right)\prod\limits_{j=1}^{i-1}{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i\right)!}\Delta^{2i}y_{-i}}+\sum\limits_{i=0}^k{\frac{q\prod\limits_{j=1}^i{\left(q^2-j^2\right)}}{\left(2i+1\right)!}\Delta^{2i+1}y_{-i-1}},q=\frac{x-x_0}{h}</math>--> |
== Примеры формулы == | == Примеры формулы == | ||
<!--:<math>q=\frac{x-x_0}{h}</math>--> | <!--:<math>q=\frac{x-x_0}{h}</math>--> | ||
| Строка 25: | Строка 25: | ||
<!--:<math>G_1(x)=y_0+q\Delta y_{-1}</math>--> | <!--:<math>G_1(x)=y_0+q\Delta y_{-1}</math>--> | ||
=== Квадратическая интерполяция (n=2) === | === Квадратическая интерполяция (n=2) === | ||
| − | :<math>G_2(x)=y_0+q\Delta y_{-1}+\frac{q\left(q+1\right)}{2}\Delta^2 y_{-1}</math>--> | + | <!--:<math>G_2(x)=y_0+q\Delta y_{-1}+\frac{q\left(q+1\right)}{2}\Delta^2 y_{-1}</math>--> |
=== Кубическая интерполяция (n=3) === | === Кубическая интерполяция (n=3) === | ||
<!--:<math>G_3(x)=y_0+q\Delta y_{-1}+\frac{q\left(q+1\right)}{2}\Delta^2 y_{-1}+\frac{q\left(q^2-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-2}</math>--> | <!--:<math>G_3(x)=y_0+q\Delta y_{-1}+\frac{q\left(q+1\right)}{2}\Delta^2 y_{-1}+\frac{q\left(q^2-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-2}</math>--> | ||
Версия 18:09, 25 октября 2024
Интерполяция Гаусса назад (вторая формула) — это определение значений многочлена n-ой степени (проходящего через заданные (2n+1)-у точку) в заданной точке по формуле.
Обозначения:
- <math>x</math> − заданная точка;
- <math>G_{n}(x)</math> − значение формулы n-ого порядка в точке x;
- <math>(x_j,y_j)</math> − точки (узлы) интерполяции (-n≤j≤n);
- <math>h</math> − шаг по оси абсцисс;
- <math>q=\frac{x-x_0}{h}</math> − параметр заданной точки (q<0);
- <math>x_j= x_0 + jh</math> − абсцисса j-той точки (-n≤j≤n);
- <math>y_j</math> − ордината j-той точки (-n≤j≤n);
- <math>\Delta^1y_j={y_{j+1}}-{y_j}</math> − j-ая конечная разность 1-ого порядка (-n≤j≤n);
- <math>\Delta^iy_j={\Delta^{i-1}y_{j+1}}-{\Delta^{i-1}y_j}</math> − j-ая конечная разность i-ого порядка (i>1, -n≤j≤n).
Формула
Примеры формулы
Линейная интерполяция (n=1)
Квадратическая интерполяция (n=2)
Кубическая интерполяция (n=3)
Интерполяция многочленом 4-й степени (n=4)
Интерполяция многочленом 5-й степени (n=5)
Интерполяция многочленом 6-й степени (n=6)
Другие формулы:
- Линейная интерполяция;
- Интерполяция каноническим многочленом;
- Интерполяционная формула Бесселя;
- Интерполяционная формула Бесселя на середину;
- Интерполяционная формула Гаусса вперёд (первая формула);
- Интерполяционная формула Гаусса назад (вторая формула);
- Интерполяционная формула Лагранжа;
- Интерполяционная формула Ньютона вперёд (первая формула);
- Интерполяционная формула Ньютона назад (вторая формула);
- Интерполяционная формула Стирлинга.
