СМО n-канальная с m-очередью

СМО n-канальная с m-очередью

СМО n-канальная с m-очередью — это система массового обслуживания, в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить. Максимальное число заявок в системе равно сумме числа каналов и мест в очереди.

Обозначения

n – число каналов обслуживания;

m – число мест в очереди;

λ – интенсивность простейшего потока заявок;

μ – интенсивность простейшего потока обслуживания.

Описание модели

На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.

После окончания обслуживания один канал освобождается.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.

Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/n/m – СМО n-канальная с m-очередью.

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом;

S₂ – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются 2-каналами;

…;

S_n-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами;

S_n – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет;

S_n+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а 1-заявка ожидает в очереди;

…;

S_n+m-2 – в системе имеется (n+m-2)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-2)-заявок ожидают в очереди;

S_n+m-1 – в системе имеется (n+m-1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-1)-заявок ожидают в очереди;

S_n+m – в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок ожидают в очереди;

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система линейных уравнений

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.

Решение системы линейных уравнений

Решим систему относительно p₀,p₁,p₂,…,p_n+m.

В результате получаем решение системы:

• Заметим, что при n>0,m>0,λ_i-1=λ,μ_i=iμ,i=1,n,λ_j-1=λ,μ_j=nμ,j=n+1,n+m система массового обслуживания становится СМО n-канальной с m-очередью.

Основные характеристики системы

При χ=1 получаем

При χ≠1 получаем

• Заметим, что при n=1 СМО n-канальная с m-очередью становится одноканальной.

Другие СМО:

1. СМО n-канальная без очереди;
2. СМО n-канальная без очереди и с ограниченным временем обслуживания;
3. СМО n-канальная без очереди и со случайным результатом обслуживания;
4. СМО n-канальная без очереди и со случайным выбором канала;
5. СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
6. СМО n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
7. СМО n-канальная с m-очередью;
8. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания;
9. СМО n-канальная с m-очередью и со случайным результатом обслуживания;
10. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
11. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания;
12. СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
13. СМО n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
14. СМО n-канальная с бесконечной очередью;
15. СМО с бесконечным числом каналов;
16. СМО замкнутая n-канальная без очереди;
17. СМО замкнутая n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
18. СМО замкнутая n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
19. СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
20. СМО замкнутая n-канальная без очереди, с k-источниками и с взаимопомощью;
21. СМО замкнутая n-канальная без очереди, с k-источниками и с частичной взаимопомощью;
22. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
23. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
24. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
25. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками;
26. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с взаимопомощью;
27. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с частичной взаимопомощью.

Ссылки

• Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969,стр.173-187.