СМО замкнутая n-канальная без очереди, с k-источниками и с частичной взаимопомощью

СМО замкнутая n-канальная без очереди, с k-источников и с частичной взаимопомощью

СМО замкнутая n-канальная без очереди, с k-источников и с частичной взаимопомощью — это система массового обслуживания, в которой есть n-каналов и k-источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в k-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одной группой каналов. Если заявка приходит, в момент, когда свободна хотя бы одна группа, то она немедленно поступает на обслуживание свободной группой каналов. Если заявка приходит, в момент, когда все группы каналов заняты, но число занятых каналов меньше n,то каналы перераспределяются по заявкам. Если число заявок равно числу каналов, то новые заявки теряются. Максимальное число заявок в системе равно числу каналов.

Обозначения

n – число каналов обслуживания;

m – число мест в очереди;

l – число каналов обслуживания в группе;

k – число источников заявок;

h – число полноценных групп каналов обслуживания, h=[n/l] ;

λ – интенсивность простейшего потока заявок;

μ – интенсивность простейшего потока обслуживания.

Описание модели

На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Интенсивность потока обслуживания с частичной взаимопомощью между каналами равна lμ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается группой из l-каналов одновременно, при этом производительность увеличивается в l-раз.

После окончания обслуживания все каналы освобождаются одновременно.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе одну заявку, то она принимается на обслуживание: l-каналов обслуживает первую заявку, другие l-каналов приступает к обслуживанию второй заявки. Разделение групп совершенно произвольное.

Если система обслуживает i-заявок и i<h, то вновь прибывшая заявка принимается на обслуживание l-каналами из оставшихся.

Если система обслуживает i-заявок и hl<=il<n, то вновь прибывшая заявка принимается на обслуживание и n-каналов распределяется равномерно между заявками.

Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки терпеливые).

Если обслуживание какой-либо заявки окончено, то освободившаяся группа каналов присоединяется к обслуживанию остальных заявок, находящихся в системе.

Если система обслуживает n-заявок (i=n), то каждая из них обслуживается одним каналом, а вновь прибывшая заявка получает отказ и исключается из обслуживания.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на поток от одного источника.

Граф состояний

М/М/n/0/k – СМО замкнутая n-канальная без очереди, с k-источников и с частичной взаимопомощью.

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны, k-источников заявок;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается l-каналами, (k-1)-источников заявок;

S₂ – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются 2l-каналами, (k-2)-источников заявок;

…;

S_h-1 – в системе имеется (h-1)-заявок, они обслуживаются (h-1)l-каналами, (k-h+1)-источников заявок;

S_h – в системе имеется h-заявок, они обслуживаются hl-каналами, очереди нет, (k-h)-источников заявок;

S_h+1 – в системе имеется (h+1)-заявок, они обслуживаются n-каналами, (k-h-1)-источников заявок;

…;

S_n-2 – в системе имеется (n-2)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, (k-n+2)-источников заявок;

S_n-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, (k-n+1)-источников заявок;

S_n – в системе имеется (n)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, (k-n)-источников заявок игнорируются.

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система линейных уравнений

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n), получаем упрощённый вид системы.

Решение системы линейных уравнений

Решим систему относительно p₀,p₁,p₂,…,p_n.

В результате получаем решение системы:

• Заметим, что при n>l>0,m=0,λ_i-1=(k-i+1)λ,μ_i=ilμ,i=1,h,λ_j-1=(k-j+1)λ,μ_j=nμ,j=h+1,n система массового обслуживания становится СМО замкнутой n-канальной без очереди, с k-источниками и с частичной взаимопомощью.

Другие СМО:

1. СМО n-канальная без очереди;
2. СМО n-канальная без очереди и с ограниченным временем обслуживания;
3. СМО n-канальная без очереди и со случайным результатом обслуживания;
4. СМО n-канальная без очереди и со случайным выбором канала;
5. СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
6. СМО n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
7. СМО n-канальная с m-очередью;
8. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания;
9. СМО n-канальная с m-очередью и со случайным результатом обслуживания;
10. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
11. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания;
12. СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
13. СМО n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
14. СМО n-канальная с бесконечной очередью;
15. СМО с бесконечным числом каналов;
16. СМО замкнутая n-канальная без очереди;
17. СМО замкнутая n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
18. СМО замкнутая n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
19. СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
20. СМО замкнутая n-канальная без очереди, с k-источниками и с взаимопомощью;
21. СМО замкнутая n-канальная без очереди, с k-источниками и с частичной взаимопомощью;
22. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
23. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
24. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
25. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками;
26. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с взаимопомощью;
27. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с частичной взаимопомощью.