Метод Грама-Шмидта

Материал из Мегапедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод Грама-Шмидта — это способ ортогонализации системы линейно-независимых векторов.

Ортогонализация

Описание метода

Суть метода Грама-Шмидта состоит во взятии первого ортогонального вектора равным первому исходному вектору и построении каждого нового ортогонального вектора равным текущему исходному вектору, скорректированному на величины проекций текущего вектора на предыдущие ортогональные векторы.

Исходная система линейно-независимых векторов имеет вид:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Алгоритм решения

Основные формулы в векторном виде.

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Основные формулы в координатном виде.

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Система ортогональных векторов принимает вид:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Процесс ортогонализации можно выразить в матричном виде.

Для этого проведём подготовительные расчёты.

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

где верны равенства:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Процесс ортогонализации превращается в обычное умножение матриц.

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Пример решения

Дана система векторов:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Ортогонализируем систему векторов методом Грама-Шмидта.

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

В результате получаем ортогональную систему векторов:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Для решения с помощью матриц проведём подготовительные расчёты.

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Ортогонализируем систему векторов умножением матриц.

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Другие операции:

Численные методы:

Другие разделы

Ссылки