СМО замкнутая без очереди

Замкнутая СМО без очереди

СМО замкнутая без очереди — это система массового обслуживания, в которой есть фиксированное число источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в "число источников"-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одним любым каналом. Если заявка приходит, в момент, когда свободен хотя бы один канал, то она немедленно поступает на обслуживание одним из свободных каналов. Максимальное число заявок равно числу каналов.

Описание модели

На вход n-канальной СМО поступает поток заявок от n-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.

После окончания обслуживания один канал освобождается.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.

Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на поток от одного источника.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/n/0/n – Замкнутая СМО без очереди

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны, n-источников заявок;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом, (n-1)-источников заявок;

S₂ – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются 2-каналами, (n-2)-источников заявок;

…;

S_i-1 – в системе имеется (i-1)-заявок, они обслуживаются (i-1)-каналами, (n-i+1)-источников заявок;

S_i – в системе имеется i-заявок, они обслуживаются i-каналами, (n-i)-источников заявок;

S_i+1 – в системе имеется (i+1)-заявок, они обслуживаются (i+1)-каналами, (n-i-1)-источников заявок;

…;

S_n-2 – в системе имеется (n-2)-заявок, они обслуживаются (n-2)-каналами, 2-источника заявок;

S_n-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами, 1-источник заявок;

S_n – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, источников заявок нет.

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно p₀,p₁,…,p_n.

В результате получаем решение системы:

Основные характеристики системы

• Заметим, что при n=1 СМО замкнутая без очереди становится одноканальной.

Другие СМО:

• СМО без очереди;
• СМО с очередью;
• СМО с ограниченным временем ожидания;
• СМО с бесконечным числом каналов;
• СМО с бесконечной очередью;
• СМО без очереди и с взаимопомощью;
• СМО с очередью и с взаимопомощью;
• СМО замкнутая без очереди;
• СМО замкнутая с очередью;
• СМО замкнутая без очереди и с дополнительными источниками;
• СМО замкнутая с очередью и с дополнительными источниками.

Ссылки

• Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.