Система массового обслуживания

Математическая модель СМО

Система массового обслуживания (СМО) — это система, в которой есть хотя бы один канал обслуживания, поток заявок и поток обслуживаний.

Системы массового обслуживания

Описание модели

На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ_i в зависимости от состояния системы.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каналом или каналами μ_i в зависимости от состояния системы.

Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.

После окончания обслуживания один канал освобождается.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.

Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S₁ – в системе имеется одна заявка, она обслуживается каналами и уходит с определённой интенсивностью;

S₂ – в системе имеется две заявки, они обслуживаются каналами и уходят с определённой интенсивностью;

…;

S_n – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами и уходят с определённой интенсивностью;

S_n+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, они обслуживаются n-каналами и уходят с определённой интенсивностью;

…;

S_n+m-1 – в системе имеется (n+m-1)-заявок, они обслуживаются n-каналами и уходят с определённой интенсивностью;

S_n+m – в системе имеется (n+m)-заявок, они обслуживаются n-каналами и уходят с определённой интенсивностью.

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Классификация СМО

По возможности обслуживания:

• СМО с отказами;
• СМО с бесконечной очередью;
• СМО с бесконечным числом каналов.

По наличию очереди:

• СМО с очередью;
• СМО без очереди.

По времени ожидания в очереди:

• СМО с ограниченным временем ожидания;
• СМО с бесконечным временем ожидания.

По числу заявок в системе:

• СМО замкнутые с очередью;
• СМО с бесконечным числом заявок.

По характеру обслуживания:

• СМО с взаимопомощью с очередью;
• СМО без взаимопомощи.

По числу каналов обслуживания:

• одноканальные СМО;
• многоканальные СМО;
• СМО с бесконечным числом каналов.

Основные характеристики СМО

λ_i - интенсивность простейшего потока оставшихся заявок (без i-заявок);

μ_i - суммарная интенсивность простейшего потока обслуживаний (работающими каналами) и потока уходов i-заявок;

p₀ - вероятность состояния системы, в котором все каналы свободны;

p_i - вероятность i-ого состояния системы;

p_n - вероятность состояния n-канальной системы, в котором все каналы заняты;

p_n+m - вероятность состояния n-канальной системы с m-местами в очереди, в котором все каналы и места в очереди заняты;

q - относительная пропускная способность системы;

A - абсолютная пропускная способность системы;

p_прост - вероятность простоя системы;

p_отк - вероятность отказа системы;

p_обсл - вероятность обслуживания в системе;

p_п.загр - вероятность полной загрузки системы;

p_н.загр - вероятность неполной загрузки системы;

p_н.очер - вероятность наличия очереди в системе;

p_1зан - вероятность занятости, отдельно взятого канала системы;

p_1прост - вероятность простоя, отдельно взятого канала системы;

t_λ - среднее время между заявками;

t_μ - среднее время обслуживания заявки каналом;

t_п.загр - среднее время полной загрузки системы;

t_н.загр - среднее время неполной загрузки системы;

t_н.очер - среднее время наличия очереди в системе;

t_1зан - среднее время занятости, отдельно взятого канала системы;

t_1прост - среднее время простоя, отдельно взятого канала системы;

t_прост - среднее время простоя системы;

t_обсл - среднее время обслуживания заявки в системе;

t_очер - среднее время заявки в очереди;

t_сист - среднее время нахождения заявки в системе;

s - среднее число заявок на обслуживании;

k - среднее число занятых каналов;

r - среднее число заявок в очереди;

l - среднее число заявок в системе.

Основные типы СМО:

• СМО с отказами;
• СМО с очередью;
• СМО с ограниченным временем ожидания;
• СМО замкнутая с очередью;
• СМО с взаимопомощью с очередью;
• СМО с отказами и взаимопомощью;
• СМО с бесконечным числом каналов;
• СМО с бесконечной очередью;
• СМО замкнутая без очереди.

Одноканальные СМО:

• Одноканальная СМО с отказами;
• Одноканальная СМО с очередью;
• Одноканальная СМО с ограниченным временем ожидания;
• Одноканальная СМО замкнутая с очередью;
• Одноканальная СМО с бесконечной очередью;
• Одноканальная СМО замкнутая без очереди.

Другие разделы:

• Теория вероятностей:
  • вероятность;
  • распределения вероятностей;
  • локальная теорема Лапласа;
  • интегральная теорема Лапласа;
  • диаграмма Венна;
  • диаграмма Эйлера;
• Математическая статистика:
  • дискретная случайная величина;
  • непрерывная случайная величина;
  • интервальный ряд;
  • гипотезы;
  • доверительные интервалы;
• Статистика:
  • коэффициенты;
• Экономическая статистика:
  • индексы;
  • показатели динамики;
• Случайные процессы:
  • система управления запасами;
  • система массового обслуживания;
• Логистика:
  • логистические алгоритмы;
  • транспортные задачи;
• Теория игр:
  • игра;
  • критерии.

Ссылки

• Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
• Участник:Logic-samara