СМО с бесконечным числом каналов

Математическая модель СМО с бесконечным числом каналов

СМО с бесконечным числом каналов — это система массового обслуживания, в которой любая заявка немедленно обслуживается любым одним каналом.

Описание модели

На вход СМО с бесконечным числом каналов поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается любым одним из каналов.

Если заявка застаёт занятым хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание любым из свободных каналов и обслуживается до конца.

После окончания обслуживания одной заявки освобождается один канал.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S₁ – в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;

S₂ – в системе имеется две заявки, они обслуживается двумя каналами;

…;

S_k-1 – в системе имеется (k-1)-заявок, они обслуживаются (k-1)-каналами;

S_k – в системе имеется k-заявок, они обслуживаются k-каналами;

S_k+1 – в системе имеется (k+1)-заявок, они обслуживаются (k+1)-каналами;

….

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,∞), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно p₀,p₁,…,p_k,….

В результате получаем решение системы:

Основные характеристики системы

Другие СМО:

• СМО с отказами;
• СМО с очередью;
• СМО с ограниченным временем ожидания;
• СМО замкнутая с очередью;
• СМО с взаимопомощью с очередью;
• СМО с отказами и взаимопомощью;
• СМО с бесконечным числом каналов;
• СМО с бесконечной очередью;
• СМО замкнутая без очереди.

Ссылки

• Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
• Участник:Logic-samara