СМО замкнутая без очереди — различия между версиями
м |
|||
| (не показано 12 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | [[файл: | + | [[файл:СМОn0n.png|thumb|300|Замкнутая СМО без очереди]] |
| − | '''[[СМО замкнутая]] [[СМО | + | '''[[СМО замкнутая с очередью|Замкнутая СМО]] [[СМО без очереди|без очереди]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой есть '''n'''-каналов, '''n'''-источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. |
| − | Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в | + | Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в '''n'''-раз, чем поток заявок от одного источника. |
Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. | Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. | ||
Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одним любым каналом. | Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одним любым каналом. | ||
| Строка 17: | Строка 17: | ||
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца. | Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца. | ||
| − | Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на | + | Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на поток от одного источника. |
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе. | Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе. | ||
== Граф состояний == | == Граф состояний == | ||
| − | [[файл:СМО91.JPG]] | + | <!--[[файл:СМО91.JPG]]--> |
| + | '''М/М/n/0/n''' – Замкнутая СМО без очереди | ||
| + | |||
| + | [[файл:СМОn0n.png]] | ||
Рассмотрим множество состояний системы: | Рассмотрим множество состояний системы: | ||
| − | '''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны; | + | '''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны, '''n'''-источников заявок; |
| − | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется '''1'''-заявка, она обслуживается '''1'''-каналом, '''(n-1)'''-источников заявок; |
| − | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется '''2'''-заявки, они обслуживаются '''2'''-каналами, '''(n-2)'''-источников заявок; |
'''…'''; | '''…'''; | ||
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>i-1</sub>''' – в системе имеется '''(i-1)'''-заявок, они обслуживаются '''(i-1)'''-каналами, '''(n-i+1)'''-источников заявок; |
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>i</sub>''' – в системе имеется '''i'''-заявок, они обслуживаются '''i'''-каналами, '''(n-i)'''-источников заявок; |
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>i+1</sub>''' – в системе имеется '''(i+1)'''-заявок, они обслуживаются '''(i+1)'''-каналами, '''(n-i-1)'''-источников заявок; |
'''…'''; | '''…'''; | ||
| − | '''S<sub>n-1</sub>''' – в системе имеется '''(n-1)'''-заявок, они обслуживаются '''(n-1)'''-каналами | + | '''S<sub>n-2</sub>''' – в системе имеется '''(n-2)'''-заявок, они обслуживаются '''(n-2)'''-каналами, '''2'''-источника заявок; |
| + | |||
| + | '''S<sub>n-1</sub>''' – в системе имеется '''(n-1)'''-заявок, они обслуживаются '''(n-1)'''-каналами, '''1'''-источник заявок; | ||
| − | '''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами. | + | '''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами, источников заявок нет. |
== Система дифференциальных уравнений == | == Система дифференциальных уравнений == | ||
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | ||
| Строка 73: | Строка 78: | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
*Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. | *Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. | ||
| − | |||
[[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] | [[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] | ||
Текущая версия на 14:06, 22 августа 2025
Замкнутая СМО без очереди — это система массового обслуживания, в которой есть n-каналов, n-источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в n-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одним любым каналом. Если заявка приходит, в момент, когда свободен хотя бы один канал, то она немедленно поступает на обслуживание одним из свободных каналов. Максимальное число заявок равно числу каналов.
Содержание
Описание модели
На вход n-канальной СМО поступает поток заявок от n-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью λ.
Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.
Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.
После окончания обслуживания один канал освобождается.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.
Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на поток от одного источника.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
М/М/n/0/n – Замкнутая СМО без очереди
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны, n-источников заявок;
S1 – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом, (n-1)-источников заявок;
S2 – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются 2-каналами, (n-2)-источников заявок;
…;
Si-1 – в системе имеется (i-1)-заявок, они обслуживаются (i-1)-каналами, (n-i+1)-источников заявок;
Si – в системе имеется i-заявок, они обслуживаются i-каналами, (n-i)-источников заявок;
Si+1 – в системе имеется (i+1)-заявок, они обслуживаются (i+1)-каналами, (n-i-1)-источников заявок;
…;
Sn-2 – в системе имеется (n-2)-заявок, они обслуживаются (n-2)-каналами, 2-источника заявок;
Sn-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами, 1-источник заявок;
Sn – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, источников заявок нет.
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n), получаем упрощённый вид системы.
Решим систему относительно p0,p1,…,pn.
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы
- Заметим, что при n=1 СМО замкнутая без очереди становится одноканальной.
Другие СМО:
- СМО без очереди;
- СМО с очередью;
- СМО с ограниченным временем ожидания;
- СМО с бесконечным числом каналов;
- СМО с бесконечной очередью;
- СМО без очереди и с взаимопомощью;
- СМО с очередью и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая без очереди;
- СМО замкнутая с очередью;
- СМО замкнутая без очереди и с дополнительными источниками;
- СМО замкнутая с очередью и с дополнительными источниками.
Ссылки
- Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
