СМО без очереди и с взаимопомощью — различия между версиями
м (Logic-samara переименовал страницу СМО с отказами и взаимопомощью в СМО без очереди и с взаимопомощью) |
м |
||
| (не показаны 3 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | [[файл:СМОnn.png|thumb|300|СМО с взаимопомощью | + | [[файл:СМОnn.png|thumb|300|СМО без очереди и с взаимопомощью]] |
| − | '''[[СМО | + | '''[[СМО без очереди]] и [[СМО с очередью и с взаимопомощью|с взаимопомощью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой всегда есть взаимопомощь между каналами обслуживания: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается всеми каналами, если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается частью каналов, в остальных случаях заявка покидает систему (теряется). |
== Описание модели == | == Описание модели == | ||
На вход '''n'''-канальной СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. | На вход '''n'''-канальной СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. | ||
| Строка 23: | Строка 23: | ||
== Граф состояний == | == Граф состояний == | ||
<!--[[файл:СМО61.JPG]]--> | <!--[[файл:СМО61.JPG]]--> | ||
| − | '''М/М/n/0''' – СМО с взаимопомощью | + | '''М/М/n/0''' – СМО без очереди и с взаимопомощью |
[[файл:СМОnn.png]] | [[файл:СМОnn.png]] | ||
| Строка 31: | Строка 31: | ||
'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны; | '''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны; | ||
| − | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется '''1'''-заявка, она обслуживается всеми '''n'''-каналами; |
| − | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется '''2'''-заявки, они обслуживаются '''n'''-каналами; |
'''…'''; | '''…'''; | ||
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>i-1</sub>''' – в системе имеется '''(i-1)'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами; |
| + | |||
| + | '''S<sub>i</sub>''' – в системе имеется '''i'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами; | ||
| + | |||
| + | '''S<sub>i+1</sub>''' – в системе имеется '''(i+1)'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами; | ||
'''…'''; | '''…'''; | ||
| + | |||
| + | '''S<sub>n-2</sub>''' – в системе имеется '''(n-2)'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами; | ||
'''S<sub>n-1</sub>''' – в системе имеется '''(n-1)'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами; | '''S<sub>n-1</sub>''' – в системе имеется '''(n-1)'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами; | ||
| Строка 77: | Строка 83: | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
*Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. | *Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. | ||
| − | |||
[[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] | [[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] | ||
Текущая версия на 15:55, 22 августа 2025
СМО без очереди и с взаимопомощью — это система массового обслуживания, в которой всегда есть взаимопомощь между каналами обслуживания: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается всеми каналами, если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается частью каналов, в остальных случаях заявка покидает систему (теряется).
Содержание
Описание модели
На вход n-канальной СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.
Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.
Интенсивность потока обслуживания с взаимопомощью между каналами всегда равна nμ.
Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается всеми n-каналами одновременно, при этом производительность увеличивается в n-раз.
После окончания обслуживания все каналы освобождаются одновременно.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе одну заявку, то она принимается на обслуживание: часть каналов обслуживает первую заявку, часть приступает к обслуживанию второй заявки. Разделение каналов совершенно произвольное.
Если система обслуживает k-заявок (k=1,n-1), то вновь прибывшая заявка принимается на обслуживание и все (k+1)-заявок обслуживаются n-каналами, распределёнными произвольно между заявками, но так, что все каналы заняты обслуживанием. Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки терпеливые).
Если обслуживание какой-либо заявки окончено, то освободившаяся группа каналов присоединяется к обслуживанию остальных заявок, находящихся в системе. Таким образом, при наличии в системе хотя бы одной заявки все n-каналов всё время будут заняты.
Если система обслуживает n-заявок (k=n), то каждая из них обслуживается одним каналом, а вновь прибывшая заявка получает отказ и исключается из обслуживания.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
М/М/n/0 – СМО без очереди и с взаимопомощью
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
S1 – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается всеми n-каналами;
S2 – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются n-каналами;
…;
Si-1 – в системе имеется (i-1)-заявок, они обслуживаются n-каналами;
Si – в системе имеется i-заявок, они обслуживаются n-каналами;
Si+1 – в системе имеется (i+1)-заявок, они обслуживаются n-каналами;
…;
Sn-2 – в системе имеется (n-2)-заявок, они обслуживаются n-каналами;
Sn-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются n-каналами;
Sn – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами.
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n), получаем упрощённый вид системы.
Решим систему относительно p0,p1,…,pn.
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы
При χ≠1 получаем
При χ=1 получаем
Другие СМО:
- СМО без очереди;
- СМО с очередью;
- СМО с ограниченным временем ожидания;
- СМО с бесконечным числом каналов;
- СМО с бесконечной очередью;
- СМО без очереди и с взаимопомощью;
- СМО с очередью и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая без очереди;
- СМО замкнутая с очередью;
- СМО замкнутая без очереди и с дополнительными источниками;
- СМО замкнутая с очередью и с дополнительными источниками.
Ссылки
- Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
