СМО без очереди — различия между версиями
м |
м |
||
| (не показано 5 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
[[файл:СМОn.png|thumb|300|СМО без очереди (с отказами)]] | [[файл:СМОn.png|thumb|300|СМО без очереди (с отказами)]] | ||
| − | '''[[СМО | + | '''[[СМО с очередью|СМО без очереди]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой есть каналы обслуживания, но нет очереди: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается любым одним каналом, если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается одним из свободных каналов, иначе если заявка приходит - когда заняты все каналы, то заявка покидает систему (теряется). |
| + | Максимальное число заявок в системе равно числу каналов. | ||
== Описание модели == | == Описание модели == | ||
На вход '''n'''-канальной СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. | На вход '''n'''-канальной СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. | ||
| Строка 25: | Строка 26: | ||
'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны; | '''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны; | ||
| − | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется '''1'''-заявка, она обслуживается '''1'''-каналом; |
| − | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется '''2'''-заявки, они обслуживается '''2'''-каналами; |
'''…'''; | '''…'''; | ||
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>i-1</sub>''' – в системе имеется '''(i-1)'''-заявок, они обслуживаются '''(i-1)'''-каналами; |
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>i</sub>''' – в системе имеется '''i'''-заявок, они обслуживаются '''i'''-каналами. |
| + | |||
| + | '''S<sub>i+1</sub>''' – в системе имеется '''(i+1)'''-заявок, они обслуживаются '''(i+1)'''-каналами; | ||
'''…'''; | '''…'''; | ||
| + | |||
| + | '''S<sub>n-2</sub>''' – в системе имеется '''(n-2)'''-заявок, они обслуживаются '''(n-2)'''-каналами; | ||
'''S<sub>n-1</sub>''' – в системе имеется '''(n-1)'''-заявок, они обслуживаются '''(n-1)'''-каналами; | '''S<sub>n-1</sub>''' – в системе имеется '''(n-1)'''-заявок, они обслуживаются '''(n-1)'''-каналами; | ||
Текущая версия на 17:07, 22 августа 2025
СМО без очереди — это система массового обслуживания, в которой есть каналы обслуживания, но нет очереди: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается любым одним каналом, если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается одним из свободных каналов, иначе если заявка приходит - когда заняты все каналы, то заявка покидает систему (теряется). Максимальное число заявок в системе равно числу каналов.
Содержание
Описание модели
На вход n-канальной СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.
Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.
Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается любым одним из n-каналов.
Если заявка застаёт свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание любым из свободных каналов и обслуживается до конца.
Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она получает отказ (покидает систему не обслуженной).
После окончания обслуживания одной заявки освобождается один канал.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
М/М/n/0 – СМО без очереди (с отказами)
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
S1 – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом;
S2 – в системе имеется 2-заявки, они обслуживается 2-каналами;
…;
Si-1 – в системе имеется (i-1)-заявок, они обслуживаются (i-1)-каналами;
Si – в системе имеется i-заявок, они обслуживаются i-каналами.
Si+1 – в системе имеется (i+1)-заявок, они обслуживаются (i+1)-каналами;
…;
Sn-2 – в системе имеется (n-2)-заявок, они обслуживаются (n-2)-каналами;
Sn-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами;
Sn – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами.
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n), получаем упрощённый вид системы.
Решим систему относительно p0,p1,…,pn.
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы
- Заметим, что при n=1 СМО без очереди становится одноканальной.
Другие СМО:
- СМО без очереди;
- СМО с очередью;
- СМО с ограниченным временем ожидания;
- СМО с бесконечным числом каналов;
- СМО с бесконечной очередью;
- СМО без очереди и с взаимопомощью;
- СМО с очередью и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая без очереди;
- СМО замкнутая с очередью;
- СМО замкнутая без очереди и с дополнительными источниками;
- СМО замкнутая с очередью и с дополнительными источниками.
Ссылки
- Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
