СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания — различия между версиями
м |
м (Logic-samara переименовал страницу СМО с ограниченным временем ожидания в СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания) |
||
| (не показаны 2 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
[[файл:СМОnmt.png|thumb|300|СМО с ограниченным временем ожидания]] | [[файл:СМОnmt.png|thumb|300|СМО с ограниченным временем ожидания]] | ||
'''[[СМО с очередью|СМО с ограниченным временем ожидания]]''' — это [[система массового обслуживания]] с очередью, в которой "нетерпеливая" заявка может уйти из очереди, не дождавшись обслуживания. | '''[[СМО с очередью|СМО с ограниченным временем ожидания]]''' — это [[система массового обслуживания]] с очередью, в которой "нетерпеливая" заявка может уйти из очереди, не дождавшись обслуживания. | ||
| + | Максимальное число заявок в системе равно сумме числа каналов и мест в очереди. | ||
== Описание модели == | == Описание модели == | ||
На вход '''n'''-канальной СМО с '''m'''-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. | На вход '''n'''-канальной СМО с '''m'''-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. | ||
| Строка 29: | Строка 30: | ||
'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны; | '''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны; | ||
| − | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется '''1'''-заявка, она обслуживается '''1'''-каналом; |
| − | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется '''2'''-заявки, они обслуживаются '''2'''-каналами; |
'''…'''; | '''…'''; | ||
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>n-1</sub>''' – в системе имеется '''(n-1)'''-заявок, они обслуживаются '''(n-1)'''-каналами; |
| − | |||
| − | |||
'''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами, очереди нет; | '''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами, очереди нет; | ||
| − | '''S<sub>n+1</sub>''' – в системе имеется '''(n+1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а | + | '''S<sub>n+1</sub>''' – в системе имеется '''(n+1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''1'''-заявка "нетерпеливо" ожидает в очереди; |
'''…'''; | '''…'''; | ||
| − | '''S<sub>n+ | + | '''S<sub>n+m-2</sub>''' – в системе имеется '''(n+m-2)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''(m-2)'''-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди; |
| − | ''' | + | '''S<sub>n+m-1</sub>''' – в системе имеется '''(n+m-1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''(m-1)'''-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди; |
'''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди; | '''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди; | ||
Текущая версия на 04:02, 23 августа 2025
СМО с ограниченным временем ожидания — это система массового обслуживания с очередью, в которой "нетерпеливая" заявка может уйти из очереди, не дождавшись обслуживания. Максимальное число заявок в системе равно сумме числа каналов и мест в очереди.
Содержание
Описание модели
На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.
Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.
Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.
После окончания обслуживания один канал освобождается.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.
Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и "нетерпеливо" (в пределах ограниченного времени ожидания) ждёт своего обслуживания, иначе заявка уходит из очереди и исключается из обслуживания.
Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
М/М/n/m – СМО с очередью и с ограниченным временем ожидания
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
S1 – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом;
S2 – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются 2-каналами;
…;
Sn-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами;
Sn – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет;
Sn+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а 1-заявка "нетерпеливо" ожидает в очереди;
…;
Sn+m-2 – в системе имеется (n+m-2)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-2)-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди;
Sn+m-1 – в системе имеется (n+m-1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-1)-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди;
Sn+m – в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди;
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.
Решим систему относительно p0,p1,…,pn+m.
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы
- Заметим, что при n=1 СМО с ограниченным временем ожидания становится одноканальной.
Другие СМО:
- СМО n-канальная без очереди;
- СМО n-канальная с m-очередью;
- СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
- СМО с бесконечным числом каналов;
- СМО n-канальная с бесконечной очередью;
- СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
- СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками.
Ссылки
- Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
