СМО замкнутая с очередью — различия между версиями
м |
м |
||
| Строка 28: | Строка 28: | ||
Рассмотрим множество состояний системы: | Рассмотрим множество состояний системы: | ||
| − | '''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны; | + | '''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны, '''(n+m)'''-источников заявок; |
| − | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется '''1'''-заявка, она обслуживается '''1'''-каналом, '''(n+m-1)'''-источников заявок; |
| − | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется '''2'''-заявки, они обслуживаются '''2'''-каналами, '''(n+m-2)'''-источников заявок; |
'''…'''; | '''…'''; | ||
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>n-1</sub>''' – в системе имеется '''(n-1)'''-заявок, они обслуживаются '''(n-1)'''-каналами, '''(m+1)'''-источников заявок; |
| − | ''' | + | '''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами, очереди нет, '''m'''-источников заявок; |
| − | '''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, | + | '''S<sub>n+1</sub>''' – в системе имеется '''(n+1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''1'''-заявка в очереди, '''(m-1)'''-источников заявок; |
| − | |||
| − | ''' | ||
'''…'''; | '''…'''; | ||
| − | '''S<sub>n+ | + | '''S<sub>n+m-2</sub>''' – в системе имеется '''(n+m-2)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''(m-2)'''-заявок в очереди, '''2'''-источника заявок; |
| − | ''' | + | '''S<sub>n+m-1</sub>''' – в системе имеется '''(n+m-1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''(m-1)'''-заявок в очереди, '''1'''-источник заявок; |
| − | '''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок | + | '''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок в очереди, источников заявок нет; |
== Система дифференциальных уравнений == | == Система дифференциальных уравнений == | ||
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | ||
Версия 12:51, 22 августа 2025
Замкнутая СМО с очередью — это система массового обслуживания, в которой есть фиксированное число источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в "число источников"-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одним любым каналом. Если заявка приходит, в момент, когда свободен хотя бы один канал, то она немедленно поступает на обслуживание одним из свободных каналов. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она становится в очередь и ожидает освобождения канала, который её может обслужить.
Содержание
Описание модели
На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает поток заявок от (n+m)-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью λ.
Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.
Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.
После окончания обслуживания один канал освобождается.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.
Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.
Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.
Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на поток от одного источника.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
М/М/n/m/n+m – Замкнутая СМО с очередью
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны, (n+m)-источников заявок;
S1 – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом, (n+m-1)-источников заявок;
S2 – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются 2-каналами, (n+m-2)-источников заявок;
…;
Sn-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами, (m+1)-источников заявок;
Sn – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет, m-источников заявок;
Sn+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а 1-заявка в очереди, (m-1)-источников заявок;
…;
Sn+m-2 – в системе имеется (n+m-2)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-2)-заявок в очереди, 2-источника заявок;
Sn+m-1 – в системе имеется (n+m-1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-1)-заявок в очереди, 1-источник заявок;
Sn+m – в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок в очереди, источников заявок нет;
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.
Решим систему относительно p0,p1,…,pn+m.
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы
- Заметим, что при n=1 СМО замкнутая становится одноканальной.
Другие СМО:
- СМО без очереди;
- СМО с очередью;
- СМО с ограниченным временем ожидания;
- СМО с бесконечным числом каналов;
- СМО с бесконечной очередью;
- СМО без очереди и с взаимопомощью;
- СМО с очередью и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая без очереди;
- СМО замкнутая с очередью;
- СМО замкнутая без очереди и с дополнительными источниками;
- СМО замкнутая с очередью и с дополнительными источниками.
Ссылки
- Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, М.,1969.
