Транспортная задача с промежуточными пунктами и ограничением по транзиту

Математическая модель ТЗПП с ограничением по транзиту

Транспортная задача с промежуточными пунктами и ограничением по транзиту – это транспортная задача оптимизации перевозок с использованием промежуточных (транзитных) пунктов с возможностью ограничения транзита в наиболее перегруженном промежуточном пункте.

Постановка задачи

В экономической транспортной системе имеются n конечных пунктов (np поставщиков продукции и (n-np) потребителей продукции) и m промежуточных пунктов (складов). Продукция перевозится от поставщиков на склады, будем обозначать эти перевозки положительными переменными x_ij≥0, (i=1,m,j=1,np). А со складов часть продукции перевозится потребителям - их обозначим отрицательными переменными x_ij≤0, (i=1,m,j=np+1,n). Объёмы поставок поставщиков обозначим положительными числами b_j>0, (j=1,np), объёмы потребностей потребителей обозначим отрицательными числами b_j<0, (j=np+1,n). Если склад имеет дополнительные (внутренние) потребности продукции, то обозначим их положительными числами a_i>0, (i=1,mp). Если склад имеет излишки продукции или нулевые остатки, то обозначим их числами a_i≤0, (i=mp+1,m). Транспортные тарифы на перевозку единицы продукции от поставщика на склад выразим положительными числами c_ij>0, (i=1,m,j=1,np), транспортные тарифы на перевозку со склада к потребителю выразим отрицательными числами c_ij<0, (i=1,m,j=np+1,n).

Пусть T – это лимит транзита для перегружаемого склада At.

Тогда математическая модель задачи с ограничением по транзиту принимает вид:

,

где x_ij — объём перевозок продукта между промежуточным пунктом Ai и конечным пунктом Bj.

Условия разрешимости

Для разрешимости задачи с ограничением по транзиту необходимо выполнение условий баланса:

,

то есть необходимо, чтобы алгебраическая сумма поставок на склады и отрицательных поставок со складов (потребностей в продукции) равнялась алгебраической сумме дополнительных потребностей в продукции на складах.

Постановка вспомогательной задачи

Для случая перегруженного пункта с дополнительной потребностью a_t>0, введём дополнительный склад A_m+1 (“двойник” склада A_t) с избытком a_m+1=-T и пересчитаем для склада A_t дополнительную потребность a_t=a_t+T.

Пусть M — это достаточно большое положительное число.

Введём обозначения:

.

Для случая перегруженного пункта с избытком a_t≤0, введём дополнительный склад A_m+1 («двойник» склада A_t) с дополнительной потребностью a_m+1=T и пересчитаем для склада A_t дополнительную потребность a_t=a_t-T. Введём обозначения:

.

Математическая модель вспомогательной задачи (в обоих случаях) принимает следующий вид:

.

Решение вспомогательной задачи

Очевидно, что вспомогательная задача является закрытой транспортной задачей с промежуточными пунктами, которая разрешима по построению. Для определения начального решения используется метод северо-западного угла, а для решения применяется метод потенциалов. Очевидно, что M-множители и метод потенциалов приводят к нулевым соответствующим (сверх установленного лимита T на транзит) перевозкам в оптимальном решении. В оптимальном решении вспомогательной задачи все перевозки через конечные и промежуточные пункты без складов «двойников» являются оптимальным решением исходной задачи. А перевозки складов «двойников» объединяются (складываются) в перевозки склада A_t.

Другие задачи:

• Транспортная задача;
• Распределительная задача;
• Задача о назначениях;
• Транспортная задача с промежуточными пунктами;
• Транспортная задача с промежуточными пунктами с запретами;
• Транспортная задача с промежуточными пунктами и ограничением по транзиту;
• Открытая транспортная задача с промежуточными пунктами 1;
• Открытая транспортная задача с промежуточными пунктами 2;
• Открытая транспортная задача с промежуточными пунктами 3;
• Открытая транспортная задача с промежуточными пунктами 4;
• Трёхиндексная транспортная задача.

Ссылки

• Krivopalov V. Y., Krivopalov Y. A. The potential method for solving the transportation problem with transit points. New Magenta Papers. Magenta Technology, 2013. — Vol.2 — P.31-38.
• Кривопалов В. Ю., Метод северо-западного угла для нахождения допустимого решения транспортной задачи с промежуточными пунктами. Сборник конференции ПИТ-2014, СГАУ, стр.369-372. http://www.ssau.ru/files/events/2014/pit_14_1_6.pdf
• Кривопалов В. Ю., Обобщённый метод потенциалов для решения транспортной задачи с промежуточными пунктами. Сборник Х конференции «Наука. Творчество» 2014, Самара-Москва, Т.1,стр.23-29.
• Кривопалов В. Ю., Решение транспортной задачи с промежуточными пунктами и ограничением по транзиту. Сборник ХI конференции «Наука. Творчество» 2015, Самара, Т.1,стр.28-32.
• Участник:Logic-samara