СМО замкнутая с очередью и с дополнительными источниками

Замкнутая СМО с очередью и с дополнительными источниками

Замкнутая СМО с очередью и с дополнительными источниками — это система массового обслуживания, в которой есть n-каналов, m-мест в очереди, k-источников заявок (k>n+m). Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в k-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одним любым каналом. Если заявка приходит, в момент, когда свободен хотя бы один канал, то она немедленно поступает на обслуживание одним из свободных каналов. Максимальное число заявок в системе равно числу каналов.

Описание модели

На вход n-канальной СМО поступает поток заявок от k-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.

После окончания обслуживания один канал освобождается.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе все каналы занятыми, то она принимается в очередь и ждёт обслуживания.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе все каналы занятыми, и все места в очереди занятыми, то она игнорируется данной системой. Заявки дополнительных источников не обслуживаются в данной системе, и «восстанавливаются» другими системами.

Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на поток от одного источника.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/n/m/k – Замкнутая СМО с очередью и с дополнительными источниками

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны, k-источников заявок;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом, (k-1)-источников заявок;

S₂ – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются 2-каналами, (k-2)-источников заявок;

…;

S_n-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами, (k-n+1)-источников заявок;

S_n – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет, (k-n)-источников заявок;

S_n+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а 1-заявка в очереди, (k-n-1)-источников заявок;

…;

S_n+m-2 – в системе имеется (n+m-2)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-2)-заявок в очереди, (k-n-m+2)-источников заявок;

S_n+m-1 – в системе имеется (n+m-1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-1)-заявок в очереди, (k-n-m+1)-источников заявок;

S_n+m – в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок в очереди, (k-n-m)-источников дополнительных, заявки которых не обслуживаются.

Другие СМО:

• СМО без очереди;
• СМО с очередью;
• СМО с ограниченным временем ожидания;
• СМО с бесконечным числом каналов;
• СМО с бесконечной очередью;
• СМО без очереди и с взаимопомощью;
• СМО с очередью и с взаимопомощью;
• СМО замкнутая без очереди;
• СМО замкнутая с очередью;
• СМО замкнутая без очереди и с дополнительными источниками;
• СМО замкнутая с очередью и с дополнительными источниками.