Длина дуги эллипса

Эллипс

Длина дуги эллипса — это число, характеризующее протяжённость дуги эллипса в единицах измерения длины.

Обозначения

Введём обозначения:

a — большая полуось;

b — малая полуось;

ε — эксцентриситет;

x²/a²+y²/b²=1 — каноническое уравнение эллипса;

t₁ — параметр первой точки дуги;

t₂ — параметр второй точки дуги;

t — параметрическая переменная — угол между осью ординат и радиус-вектором точки эллипса;

x=asint — параметрическое уравнение абсциссы эллипса;

y=bcost — параметрическое уравнение ординаты эллипса;

E(k,t) — эллиптический интеграл II рода;

L_{дуг.элл} — длина дуги эллипса.

Формула

• Периметр эллипса равен P_элл=4aE(ε,π/2).

Вывод формулы

• Для вывода используется формула "длина дуги плоской кривой" в параметрической форме (параметр t – это угол между осью ординат и радиус-вектором точки эллипса).
• Для нахождения интеграла используется эллиптический интеграл II рода.

Другие кривые:

• плоская кривая;
• окружность;
• парабола;
• эллипс;
• гипербола;
• синусоида;
• косинусоида;
• циклоида;
• кардиоида;
• астроида;
• эпициклоида;
• гипоциклоида;
• эвольвента;
• цепная линия;
• трактриса;
• лемниската Бернулли.

Ссылки

• Википедия. Эллипс.
• Храбров А.И. Немного об эллиптических интегралах. http://www.math.spbu.ru/analysis/f-doska/ellint.pdf
• Участник:Logic-samara