Интеграл

Интеграл — это математический термин, обозначающий непрерывную сумму произведений значений подынтегральной функции на дифференциал аргумента.

Интеграл от функции

Нахождение интеграла от функции называется интегрированием. При интегрировании подынтегральной функции находят первообразную функцию, производная от которой равна подынтегральной функции. Интеграл от функции может быть неопределённым, а может быть определённым.

Суть неопределённого интеграла это класс функций (первообразная плюс константа), отличающихся только константой, производная которых равна подынтегральной функции.

Суть определённого интеграла это некое число, равное непрерывной алгебраической сумме произведений значений подынтегральной функции на дифференциал аргумента. Для положительных подынтегральных функций определённый интеграл равен величине площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и пределами интегрирования.

Неопределённый интеграл от функции

Неопределённый интеграл от функции определяется по формуле:

f(x) - подынтегральная функция,

F(x) - первообразная функция.

C - константа.

Свойства неопределённых интегралов

Для функций u=f(x) и v=g(x) верны правила:

При f(x) и g(x)=C₁ получаем:

При f(x)=C₁ и g(x) получаем:

Интегрирование по частям

Для функций u=f(x) и v=g(x) верно правило:

Примеры неопределённых интегралов

• интегралы элементарных функций;
• интегралы дробно-рациональных функций;
• интегралы функций с корнями;
• интегралы тригонометрических функций;
• интегралы обратных тригонометрических функций;
• интегралы гиперболических функций;
• интегралы обратных гиперболических функций;
• интегралы, определяемые методом замены переменных;
• интегралы, определяемые по интегральным равенствам;
• интегралы, определяемые по интегральным формулам.

Определённый интеграл от функции

Определённый интеграл от функции определяется по формуле Ньютона-Лейбница:

f(x) - подынтегральная функция,

F(x) - первообразная функция.

Примеры определённых интегралов

• интеграл Фурье;
• интеграл Фурье комплексный;
• эллиптические интегралы;
• интеграл Эйлера-Пуассона.

• Заметим, что любой определённый интеграл можно вычислить или оценить с помощью формул численного интегрирования.

Другие интегралы:

• интеграл;
• интегралы элементарных функций;
• интегралы дробно-рациональных функций;
• интегралы функций с корнями;
• интегралы тригонометрических функций;
• интегралы обратных тригонометрических функций;
• интегралы гиперболических функций;
• интегралы обратных гиперболических функций;
• интеграл Фурье;
• интеграл Фурье комплексный;
• эллиптические интегралы;
• интегралы, определяемые методом замены переменных;
• интегралы, определяемые по интегральным равенствам;
• интегралы, определяемые по интегральным формулам;
• интеграл Эйлера-Пуассона.

Другие понятия:

• число;
• формулы;
• погрешность;
• предел;
• производная;
• дифференциал;
• последовательность;
• ряд;
• признак сходимости;
• интеграл;
• преобразование;
• экстремум;
• вектор;
• матрица;
• функции;
• уравнения;
• дифференциальные уравнения.

Ссылки

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.