Расстояние между прямыми

Расстояние между прямыми — это длина перпендикуляра к этим прямым, соединяющего две точки этих прямых (одна точка на одной прямой, другая на другой).

Обозначения

Введём обозначения:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— радиус-вектор точки на первой прямой;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— радиус-вектор точки на второй прямой;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— направляющий вектор первой прямой;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— направляющий вектор второй прямой;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— уравнение первой прямой;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— уравнение второй прямой;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— расстояние между первой и второй прямыми.

Формула для скрещивающихся прямых

Для скрещивающихся прямых формула имеет вид:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно отношению модуля смешанного произведения векторов (r₂-r₁), s₁ и s₂ к модулю векторного произведения векторов s₁ и s₂. Геометрический смысл формулы: расстояние - это длина высоты параллелепипеда (построенного на векторах (r₂-r₁), s₁ и s₂), опущенной на основание в виде параллелограмма (построенного на векторах s₁ и s₂), равная отношению объёма параллелепипеда к площади параллелограмма.

Формула расстояния между скрещивающимися прямыми в координатной форме имеет вид:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

.

Пример

Даны две скрещивающиеся прямые:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Найти расстояние между ними.

Решение.

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Формула для параллельных прямых

Для параллельных прямых формула имеет вид:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Расстояние между параллельными прямыми равно отношению модуля векторного произведения векторов (r₂-r₁) и s₁ к длине вектора s₁. Геометрический смысл формулы: расстояние - это длина высоты параллелограмма (построенного на векторах (r₂-r₁) и s₁), опущенной на основание параллелограмма в виде вектора (s₁), равная отношению площади параллелограмма к длине основания.

Формула расстояния между параллельными прямыми в координатной форме имеет вид:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

.

• Для параллельных прямых формула верна для векторов (r₂-r₁) и s₂ также, как и для векторов (r₂-r₁) и s₁.

Пример

Даны две параллельные прямые:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Найти расстояние между ними.

Решение.

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Другие формулы:

• расстояние между точками;
• расстояние между прямыми;
• расстояние от точки до прямой;
• расстояние от точки до плоскости.

Ссылки

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970, стр.84.
• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.194.
• Участник:Logic-samara