Уравнение перпендикуляра к двум прямым

Уравнение перпендикуляра к двум прямым — это уравнение прямой, перпендикулярной к каждой из прямых, задаётся системой равенств нулю смешанных произведений соответствующего вектора-разности радиусов-векторов точек, направляющего вектора и векторного произведения направляющих векторов.

Обозначения

Введём обозначения:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— радиус-вектор точки перпендикуляра;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— радиус-вектор точки первой прямой;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— радиус-вектор точки второй прямой;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— направляющий вектор первой прямой;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— направляющий вектор второй прямой;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— уравнение первой прямой;

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

— уравнение второй прямой.

Формулы:

Векторная форма:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Координатная форма:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

• Заметим, что формулы верны только для скрещивающихся прямых.

Пример

Даны две прямые:

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Найти уравнение перпендикуляра к этим прямым.

Решение.

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Другие уравнения:

• уравнение прямой, проходящей через две точки;
• уравнение прямой, равноудалённой от трёх точек;
• уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора;
• уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой;
• уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости;
• уравнение прямой, образованной пересечением двух плоскостей;
• уравнение проекции прямой на плоскость;
• уравнение перпендикуляра из точки к прямой;
• уравнение перпендикуляра из точки к плоскости;
• уравнение перпендикуляра к двум прямым.

Ссылки

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.
• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.192.
• Участник:Logic-samara