СМО с бесконечным числом каналов — различия между версиями
(начало) |
м |
||
| (не показано 14 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | [[файл: | + | [[файл:СМО8.png|thumb|300|СМО с бесконечным числом каналов]] |
| − | '''[[СМО с бесконечной очередью|СМО с бесконечным]] | + | '''[[СМО n-канальная с бесконечной очередью|СМО с бесконечным числом каналов]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой любая заявка немедленно обслуживается любым одним каналом. |
== Описание модели == | == Описание модели == | ||
На вход СМО с бесконечным числом каналов поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. | На вход СМО с бесконечным числом каналов поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. | ||
| Строка 14: | Строка 14: | ||
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе. | Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе. | ||
== Граф состояний == | == Граф состояний == | ||
| − | [[файл:СМО71.JPG]] | + | <!--[[файл:СМО71.JPG]]--> |
| + | '''М/М/∞''' – СМО с бесконечным числом каналов. | ||
| + | |||
| + | [[файл:СМО8.png]] | ||
Рассмотрим множество состояний системы: | Рассмотрим множество состояний системы: | ||
| Строка 20: | Строка 23: | ||
'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны; | '''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны; | ||
| − | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется '''1'''-заявка, она обслуживается '''1'''-каналом; |
| − | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется | + | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется '''2'''-заявки, они обслуживается '''2'''-каналами; |
'''…'''; | '''…'''; | ||
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>i-1</sub>''' – в системе имеется '''(i-1)'''-заявок, они обслуживаются '''(i-1)'''-каналами; |
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>i</sub>''' – в системе имеется '''i'''-заявок, они обслуживаются '''i'''-каналами; |
| − | '''S<sub> | + | '''S<sub>i+1</sub>''' – в системе имеется '''(i+1)'''-заявок, они обслуживаются '''(i+1)'''-каналами; |
'''…'''. | '''…'''. | ||
| Строка 36: | Строка 39: | ||
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | ||
| − | [[файл:СМО72.JPG]] | + | <!--[[файл:СМО72.JPG]]--> |
| + | [[файл:СДУ8.png]] | ||
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞'''). | Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞'''). | ||
| − | + | == Система линейных уравнений == | |
Система уравнений принимает вид: | Система уравнений принимает вид: | ||
| − | [[файл:СМО73.JPG]] | + | <!--[[файл:СМО73.JPG]]--> |
| + | [[файл:СЛУ8.png]] | ||
Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,∞'''), получаем упрощённый вид системы. | Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,∞'''), получаем упрощённый вид системы. | ||
| + | == Решение системы линейных уравнений == | ||
| + | Решим систему относительно '''p<sub>0</sub>,p<sub>1</sub>,p<sub>2</sub>,…,p<sub>i-1</sub>,p<sub>i</sub>,p<sub>i+1</sub>,…'''. | ||
| − | + | <!--[[файл:СМО74.JPG]]--> | |
| − | + | [[файл:СЛУ801.png]] | |
| − | [[файл: | ||
В результате получаем решение системы: | В результате получаем решение системы: | ||
| − | [[файл:СМО75.JPG]] | + | <!--[[файл:СМО75.JPG]]--> |
| + | [[файл:СЛУ802.png]] | ||
== Основные характеристики системы == | == Основные характеристики системы == | ||
| + | [[файл:СМО801.png]] | ||
| + | |||
[[файл:СМО76.JPG]] | [[файл:СМО76.JPG]] | ||
== [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] == | == [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] == | ||
| Строка 58: | Строка 67: | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
*Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. | *Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. | ||
| − | *[[ | + | *Л.Клейнрок. Теория массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1979,стр.118-119. |
| − | [[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] | + | [[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] |
Текущая версия на 17:56, 3 сентября 2025
СМО с бесконечным числом каналов — это система массового обслуживания, в которой любая заявка немедленно обслуживается любым одним каналом.
Содержание
Описание модели
На вход СМО с бесконечным числом каналов поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.
Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.
Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается любым одним из каналов.
Если заявка застаёт занятым хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание любым из свободных каналов и обслуживается до конца.
После окончания обслуживания одной заявки освобождается один канал.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
М/М/∞ – СМО с бесконечным числом каналов.
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
S1 – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом;
S2 – в системе имеется 2-заявки, они обслуживается 2-каналами;
…;
Si-1 – в системе имеется (i-1)-заявок, они обслуживаются (i-1)-каналами;
Si – в системе имеется i-заявок, они обслуживаются i-каналами;
Si+1 – в системе имеется (i+1)-заявок, они обслуживаются (i+1)-каналами;
….
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система линейных уравнений
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,∞), получаем упрощённый вид системы.
Решение системы линейных уравнений
Решим систему относительно p0,p1,p2,…,pi-1,pi,pi+1,….
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы
Другие СМО:
- СМО n-канальная без очереди;
- СМО n-канальная без очереди и со случайным выбором канала;
- СМО n-канальная с m-очередью;
- СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
- СМО с бесконечным числом каналов;
- СМО n-канальная с бесконечной очередью;
- СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
- СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками.
Ссылки
- Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
- Л.Клейнрок. Теория массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1979,стр.118-119.
