Интерполяционная формула Бесселя — различия между версиями
(начало) |
м |
||
| (не показаны 4 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''[[Интерполяция]] Бесселя''' — это определение значений многочлена '''n'''-ой степени (проходящего через заданные '''(2n+1)'''-у точку) в заданной точке по формуле. | '''[[Интерполяция]] Бесселя''' — это определение значений многочлена '''n'''-ой степени (проходящего через заданные '''(2n+1)'''-у точку) в заданной точке по формуле. | ||
== Обозначения: == | == Обозначения: == | ||
| − | :<math>x</math> − заданная точка; | + | == Обозначения: == |
| + | '''x''' − заданная точка; | ||
| + | |||
| + | '''S<sub>n</sub>(x)''' − значение формулы '''n'''-ого порядка в точке '''x'''; | ||
| + | |||
| + | '''(x<sub>j</sub>,y<sub>j</sub>)''' − точки (узлы) интерполяции '''(-n≤j≤n)'''; | ||
| + | |||
| + | '''h''' − шаг по оси абсцисс; | ||
| + | |||
| + | '''q=(x-x<sub>0</sub>)/h''' − параметр заданной точки '''(0,25≤q≤0,75)'''; | ||
| + | |||
| + | '''x<sub>j</sub>= x<sub>0</sub>+jh''' − абсцисса '''j'''-той точки '''(-n≤j≤n)'''; | ||
| + | |||
| + | '''y<sub>j</sub>''' − ордината '''j'''-той точки '''(-n≤j≤n);''' | ||
| + | |||
| + | '''Δ<sup>1</sup>y<sub>j</sub>=y<sub>j+1</sub>-y<sub>j</sub>''' − '''j'''-ая конечная разность '''1'''-ого порядка '''(-n≤j≤n)'''; | ||
| + | |||
| + | '''Δ<sup>i</sup>y<sub>j</sub>=Δ<sup>i-1</sup><sub>j+1</sub>-Δ<sup>i-1</sup>y<sub>j</sub>''' − '''j'''-ая конечная разность '''i'''-ого порядка '''(i>1, -n≤j≤n)'''. | ||
| + | |||
| + | <!--:<math>x</math> − заданная точка; | ||
:<math>B_n(x)</math> − значение формулы n-ого порядка в точке x; | :<math>B_n(x)</math> − значение формулы n-ого порядка в точке x; | ||
:<math>(x_j,y_j)</math> − точки (узлы) интерполяции (-n≤j≤n); | :<math>(x_j,y_j)</math> − точки (узлы) интерполяции (-n≤j≤n); | ||
| Строка 9: | Строка 28: | ||
:<math>y_j</math> − ордината j-той точки (-n≤j≤n); | :<math>y_j</math> − ордината j-той точки (-n≤j≤n); | ||
:<math>\Delta^1y_j={y_{j+1}}-{y_j}</math> − j-ая конечная разность 1-ого порядка (-n≤j≤n); | :<math>\Delta^1y_j={y_{j+1}}-{y_j}</math> − j-ая конечная разность 1-ого порядка (-n≤j≤n); | ||
| − | :<math>\Delta^iy_j={\Delta^{i-1}y_{j+1}}-{\Delta^{i-1}y_j}</math> − j-ая конечная разность i-ого порядка (i>1, -n≤j≤n). | + | :<math>\Delta^iy_j={\Delta^{i-1}y_{j+1}}-{\Delta^{i-1}y_j}</math> − j-ая конечная разность i-ого порядка (i>1, -n≤j≤n).--> |
== Формула == | == Формула == | ||
| − | + | [[файл:ИБ00.png]] | |
| − | :<math>B_{2k}(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{i-1}{\left(q^2-j^2\right)}}{q\left(q+i-1\right)\left(2i-1\right)!}\Delta^{2i-1}y_{-i+1}}+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^i\left(q^2-j^2\right)}{q\left(q+i\right)\left(2i\right)!}\frac{\Delta^{2i}y_{-i}+\Delta^{2i}y_{-i+1}}{2}},q=\frac{x-x_0}{h}</math> | + | <!--:<math>B_{2k}(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^{i-1}{\left(q^2-j^2\right)}}{q\left(q+i-1\right)\left(2i-1\right)!}\Delta^{2i-1}y_{-i+1}}+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^i\left(q^2-j^2\right)}{q\left(q+i\right)\left(2i\right)!}\frac{\Delta^{2i}y_{-i}+\Delta^{2i}y_{-i+1}}{2}},q=\frac{x-x_0}{h}</math>--> |
| − | :<math>B_{2k+1}(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^i\left(q^2-j^2\right)}{q\left(q+i\right)\left(2i\right)!}\frac{\Delta^{2i}y_{-i}+\Delta^{2i}y_{-i+1}}{2}}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\sum\limits_{i=0}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^i{\left(q^2-j^2\right)}\Delta^{2i+1}y_{-i}}{q\left(q+i\right)\left(2i+1\right)!}},q=\frac{x-x_0}{h}</math> | + | <!--:<math>B_{2k+1}(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\sum\limits_{i=1}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^i\left(q^2-j^2\right)}{q\left(q+i\right)\left(2i\right)!}\frac{\Delta^{2i}y_{-i}+\Delta^{2i}y_{-i+1}}{2}}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\sum\limits_{i=0}^k{\frac{\prod\limits_{j=0}^i{\left(q^2-j^2\right)}\Delta^{2i+1}y_{-i}}{q\left(q+i\right)\left(2i+1\right)!}},q=\frac{x-x_0}{h}</math>--> |
| − | *При | + | *При '''q=1/2''' интерполяционная формула Бесселя упрощается и называется [[Интерполяционная формула Бесселя на середину|формулой интерполирования на середину]]. |
== Примеры формулы == | == Примеры формулы == | ||
| − | :<math>q=\frac{x-x_0}{h}</math> | + | <!--:<math>q=\frac{x-x_0}{h}</math>--> |
=== Линейная интерполяция (n=1) === | === Линейная интерполяция (n=1) === | ||
| − | + | [[файл:ИБ01.png]] | |
| − | :<math>B_1(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0</math> | + | <!--:<math>B_1(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0</math> |
| − | :<math>B_1(x)=y_0+q\Delta y_0</math> | + | :<math>B_1(x)=y_0+q\Delta y_0</math>--> |
=== Квадратическая интерполяция (n=2) === | === Квадратическая интерполяция (n=2) === | ||
| − | + | [[файл:ИБ02.png]] | |
| − | :<math>B_2(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{2}\frac{\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0}{2}</math> | + | <!--:<math>B_2(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{2}\frac{\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0}{2}</math> |
:<math>B_2(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0\right)</math> | :<math>B_2(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0\right)</math> | ||
| − | :<math>B_2(x)=y_0+q\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta y_1-\Delta y_{-1}\right)</math> | + | :<math>B_2(x)=y_0+q\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta y_1-\Delta y_{-1}\right)</math>--> |
=== Кубическая интерполяция (n=3) === | === Кубическая интерполяция (n=3) === | ||
| − | + | [[файл:ИБ03.png]] | |
| − | :<math>B_3(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{2}\frac{\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\frac{q\left(q-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-1}</math> | + | <!--:<math>B_3(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{2}\frac{\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\frac{q\left(q-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-1}</math> |
:<math>B_3(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0\right)+\left(q-\frac{1}{2}\right)\frac{q\left(q-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-1}</math> | :<math>B_3(x)=\frac{y_0+y_1}{2}+\left(q-\frac{1}{2}\right)\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta^2 y_{-1}+\Delta^2 y_0\right)+\left(q-\frac{1}{2}\right)\frac{q\left(q-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-1}</math> | ||
| − | :<math>B_3(x)=y_0+q\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta y_1-\Delta y_{-1}\right)+\left(q-\frac{1}{2}\right)\frac{q\left(q-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-1}</math> | + | :<math>B_3(x)=y_0+q\Delta y_0+\frac{q\left(q-1\right)}{4}\left(\Delta y_1-\Delta y_{-1}\right)+\left(q-\frac{1}{2}\right)\frac{q\left(q-1\right)}{6}\Delta^3 y_{-1}</math>--> |
== [[Интерполяция|Другие формулы:]] == | == [[Интерполяция|Другие формулы:]] == | ||
| − | {{Список | + | {{Список МИН}} |
== Литература == | == Литература == | ||
* Ермаков В. И. Справочник по математике для экономистов — М.: Высшая школа, 1997, стр.313. | * Ермаков В. И. Справочник по математике для экономистов — М.: Высшая школа, 1997, стр.313. | ||
[[Категория:Математика]][[Категория:Численные методы]] | [[Категория:Математика]][[Категория:Численные методы]] | ||
Текущая версия на 18:59, 25 октября 2024
Интерполяция Бесселя — это определение значений многочлена n-ой степени (проходящего через заданные (2n+1)-у точку) в заданной точке по формуле.
Содержание
Обозначения:
Обозначения:
x − заданная точка;
Sn(x) − значение формулы n-ого порядка в точке x;
(xj,yj) − точки (узлы) интерполяции (-n≤j≤n);
h − шаг по оси абсцисс;
q=(x-x0)/h − параметр заданной точки (0,25≤q≤0,75);
xj= x0+jh − абсцисса j-той точки (-n≤j≤n);
yj − ордината j-той точки (-n≤j≤n);
Δ1yj=yj+1-yj − j-ая конечная разность 1-ого порядка (-n≤j≤n);
Δiyj=Δi-1j+1-Δi-1yj − j-ая конечная разность i-ого порядка (i>1, -n≤j≤n).
Формула
- При q=1/2 интерполяционная формула Бесселя упрощается и называется формулой интерполирования на середину.
Примеры формулы
Линейная интерполяция (n=1)
Квадратическая интерполяция (n=2)
Кубическая интерполяция (n=3)
Другие формулы:
- Линейная интерполяция;
- Интерполяция каноническим многочленом;
- Интерполяционная формула Бесселя;
- Интерполяционная формула Бесселя на середину;
- Интерполяционная формула Гаусса вперёд (первая формула);
- Интерполяционная формула Гаусса назад (вторая формула);
- Интерполяционная формула Лагранжа;
- Интерполяционная формула Ньютона вперёд (первая формула);
- Интерполяционная формула Ньютона назад (вторая формула);
- Интерполяционная формула Стирлинга.
Литература
- Ермаков В. И. Справочник по математике для экономистов — М.: Высшая школа, 1997, стр.313.
